具体地说，在多极展开下，选用横向无迹坐标，(1) 式的主导项是所谓的“四极辐射”（quadrupole radiation）。由于横向无迹坐标下引力波的两个独立分量——即横波分量——都是空间分量，因此我们只需给出hμν的空间部分hij即可，其结果为：

hij(x, t) = (2G/r) ?2Qij/?t2 (2)

　　其中r是场点x离源的距离（在所考虑的远场近似下源的尺度远小于场点离源的距离，因此可以忽略源的不同部分与场点距离的差别），Qij是源的四极矩，定义为：

Qij = ∫d3x'ρ(x') (x'ix'j — ?|x'|2δij) (3)

　　其中ρ是源的质量密度。这里需要说明的是，为表述简洁起见，我们自此处开始将略去时间变量，(2)式的右侧和(3)式，以及后文中任何与源有关的计算，其实都是在推迟时刻 t—r 计算的，这是(1)式或者说引力波的传播速度为光速的直接要求。另外，(2)式只包含了来自物质质量密度的贡献，这是低速近似或非相对论近似的结果。

　　引力波多极展开中的最低阶项为四极辐射，这是一个很独特的结果，比如跟电磁波就完全不同，因为后者具有所谓的偶极辐射（dipole radiation）。两种表面上看起来颇为相似——比如万有引力定律与库仑定律都是平方反比律，波动方程更是具有相同形式——的理论在这方面为何会如此不同，引力波为何没有偶极辐射呢？这是由守恒定律所决定的。我们知道，偶极矩的定义为Pi = ∫d3x' ρ(x') x'i，对电磁理论来说，ρ是电荷密度，上述偶极矩对时间的各阶导数可以是非零的，从而可以有偶极辐射。但引力理论的情况完全不同，对它来说ρ是质量密度，因而偶极矩Pi正比于源的质心位置，其对时间的一阶导数正比于源的总动量，在所考虑的近似下是一个守恒量。这就意味着其对时间的二阶导数——这是辐射场及辐射能流所包含的导数——恒为零，这是引力波不存在偶极辐射的根本原因。

　　更一般地说，在单极、偶极和四极这几种最低阶的多极展开项中，单极辐射出现的条件是源的总量不守恒，由于电荷和能量都是守恒的，因此电磁理论和引力理论都没有单极辐射[4]；偶极辐射出现的条件则是源的“荷动量”（charge-momentum）不守恒，由于电磁理论的“荷动量”确实不守恒，因此电磁理论有偶极辐射，而引力理论的“荷动量”乃是普通的动量，是守恒的，因此引力理论没有偶极辐射[5]。

　　引力波多极展开的最低阶是四极辐射这一特点也使得引力波更为微弱，因为在所考虑的近似条件下辐射的“极”数越多，辐射就越微弱（感兴趣的读者可以定性地估计一下辐射强度与辐射的“极”数之间的关系）。当然，这只是使得引力辐射微弱的原因之一，而且并非最主要的原因，最主要的原因是引力相互作用本身是目前已知的四种基本相互作用中最弱的，比另三种相互作用——强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用——都弱几十个数量级。当然，基本相互作用之间的这种比较是以微观世界为标准进行的，从而不能一概而论。比如引力本身在天体尺度上就绝不微弱，而引力波虽然在普通的天体尺度上依然微弱，却也并非总是微弱，在特殊的强引力场天体的特殊运动中可以变得很强，甚至强到令人难以想象，这些我们在后文中将会看到。

　　引力波多极展开的最低阶是四极辐射还有一个微妙的“副作用”，那就是在历史上曾使一些物理学家对引力波的存在做出过错误判断。比如继庞加莱之后引力波研究中的另一位“算不上先驱的先驱”，德国物理学家亚伯拉罕（Max Abraham）曾于1912年提出了自己的引力理论，开奖，并正确地意识到了引力波不存在偶极辐射（如前所述，这一特点源自守恒定律，从而可以不依赖于广义相对论而得到）。但也许是太看重引力波与电磁波的相似性，亚伯拉罕从不存在偶极辐射这一特点中鲁莽地舍弃了引力波的存在（当然，由于他的引力理论是错误的，即便没有舍弃引力波的存在，也难以得到正确的定量结果）。无独有偶，爱因斯坦本人在研究引力波之初也曾对引力波的存在作出过有可能是否定的判断。在1916年2月19日给德国同事施瓦西（Karl Schwarzschild）的一封信里，爱因斯坦表示在得到了完整的广义相对论之后，自己已用不同的方法处理了牛顿近似，得出的结论是“不存在与光波相类似的引力波”（there are no gravitational waves analogous to light waves）。