撰文

　　卢昌海

　　波动方程的解是物理学家们非常熟悉的，在数学上有所谓推迟解（retarded solution）和超前解（advanced solution）之分，物理上采用的是推迟解——也称为推迟势（retarded potential）[1]。对于弱场近似下的引力波动方程

?λ?λhμν= —16πG(Tμν— ½ημνTλλ) (*)

　　来说，推迟解为：

hμν(x, t) = 4G ∫d3x' (x', t — |x — x'|)/|x — x'| （1）

　　其中=Tμν — ½ημνT 是对(*)式右端所作的符号简化 (这种类型的符号简化在广义相对论中很常见，所表示的是对一个二阶张量的迹的逆转)， x 和 x' 分别为场和源的三维空间坐标，d3x' 是对源空间坐标的积分， t — |x — x'| 是所谓的推迟时间（retarded time）——其实是比 t 更早而不是更“推迟”的时间，因推迟解本身所描述的场晚于源的“推迟”效应而得名。

　　除(1)式外，由于(*)式是线性方程，相应的齐次方程 （homogeneous equation）——即源为零的方程——的解也可叠加到推迟解上，从而得到(1)式的通解。各种特解——比如平面波解、柱面波解，或满足特定初始及边界条件的解等等——皆可视为通解的特例。

　　对于波——尤其是像电磁波和引力波这样源自基础理论的波——来说，一个很重要的性质是它的独立分量数目或所谓的物理自由度（physical degrees of freedom）。具体到引力波上，由于 hμν 是对称张量，从表观上讲有10个分量。但这10个分量显然不是独立的，因为总计有4个方程的谐和坐标条件?μhμν= ½?νhμμ 可消去4个分量，从而只剩下6个。这6个分量是独立的吗？依然不是，因为谐和坐标条件并不足以完全确定坐标，我们还可对xμ作形如xμ →xμ +εμ 的变换，在这种变换下 hμν将变换为hμν →hμν — ?μεν — ?νεμ。不难证明，只要εμ满足?λ?λεμ =0，谐和坐标条件就依然成立，因此这确实是谐和坐标条件已经满足的情形下依然允许的额外坐标变换，利用这种额外坐标变换——总计也有4个方程——可进一步消去4个独立分量，最终只剩下两个独立分量，这才是引力波的独立分量——也称为引力波的偏振或极化（polarization）。

　　进一步的分析还表明，引力波的这两个独立分量和电磁波的独立分量一样都是横波分量——即都是垂直于波矢方向的分量，而且波的振幅是“无迹”（traceless）的，即 hμμ= 0，使这些特征成立的坐标也因此而被称为横向无迹坐标（transverse-traceless coordinates），简称 TT 坐标。可以证明，j2直播，横向无迹坐标恰好是自由漂浮观测者所用的坐标。另外值得一提的是，引力波的这两个横波分量在以波矢为轴的空间转动下按两倍于转角的方式转动 (转动方向则彼此相反)，因而具有螺旋度（helicity）±2，人们通常所说的引力子（graviton，即所谓引力场的量子）是自旋2的无质量粒子，指的就是这一结果。不过要注意的是，这些概念都是在闵科夫斯基度规下定义的，与我们所讨论的弱场近似一脉相承，在一般的广义相对论中却并无明确定义，因此将广义相对论本身笼统地视为自旋 2 的无质量场的理论是不妥的——起码是有争议的。

　　推迟解(1)式虽是弱场近似的产物，对一般的源分布来说依然是相当复杂的，具体计算时往往还需采取进一步的近似，其中一种典型的近似手段是所谓的多极展开（multipole expansion）。这种手段的一个重要优点是：在源——即物质分布——的尺度远小于引力波的波长（这被称为低速近似或非相对论近似[2]），并且场点离源的距离远大于引力波的波长（这被称为远场近似[3]）的情形下，多极展开由最低阶——即“极”数最少——的项所主导，其他——即“极”数更多——的项皆可忽略，从而能极大地降低计算的复杂性。