撰文Terence Tao

　　翻译卢昌海

　　译者序

　　本文译自澳大利亚数学家 Terence Tao（编注：陶哲轩，2006年菲尔茨奖<Fields>得主）的近作（编注：此文译于2007年3月11日）"What is Good Mathematics?"。Tao 是调和分析、微分方程、组合数学、解析数论等领域的大师级的年轻高手。2006年，31岁的 Tao 获得了数学界的最高奖 Fields 奖，成为该奖项七十年来最年轻的获奖者之一。美国数学学会（AMS）对 Tao 的评价是："他将精纯的技巧、超凡入圣的独创及令人惊讶的自然观点融为一体"。著名数学家 Charles Fefferman（1978年的 Fields 奖得主）的评价则是：“如果你有解决不了的问题，那么找到出路的办法之一就是引起 Terence Tao的兴趣”。Tao 虽然已经具有了世界性的声誉，但由于他的年轻，多数人（尤其是数学界以外的人）对他的了解仍很有限。

　　Tao 的这篇短文在一定程度上阐述了他的数学观，在这一点上类似于英国数学家 Godfrey Hardy 的名著 "A Mathematician's Apology"（编注：《一个数学家的自白》），相信会让许多读者感兴趣（如果哪位读者想接受 Fefferman 的忠告，让自己的问题有朝一日引起 Tao 的兴趣，那么读一读这篇文章可能会有所助益）。不过 Tao 的这篇文章远比 "A Mathematician's Apology" 难读得多。从表面上看，它不带任何数学公式，这点甚至比 "A Mathematician's Apology" 做得更为彻底（后者还带有一些 12+12=2 之类的数学公式），但实际上，j2直播，文章的主要部分（即第二节）所涉及的数学概念相当密集，足以给非数学专业的读者造成很大的困难，因此译文对译者知识所及且能用简短方式加以说明的若干概念进行了注释。本译文略去了原文的摘要、文献及正文中单纯与文献有关的个别文句（即诸如“感兴趣的读者请参阅某某文献”之类的文句）。

　　本译文末尾附有 Alain Connes（1982年的Fields奖得主）在一篇 blog 文字中对 Tao 这篇文章的负面评论。

　　1.

　　数学品质的诸多方面

　　我们都认为数学家应该努力创造好数学。但“好数学”该如何定义？甚至是否该斗胆试图加以定义呢？让我们先考虑前一个问题。我们几乎立刻能够意识到有许多不同种类的数学都可以被称为是“好”的。比方说，“好数学”可以指（不分先后顺序）：

好的数学题解（比如在一个重要数学问题上的重大突破）；

好的数学技巧（比如对现有方法的精湛运用，或发展新的工具）；

好的数学理论（比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择）；

好的数学洞察（比如一个重要的概念简化，或对一个统一的原理、启示、类比或主题的实现）；

好的数学发现（比如对一个出人意料、引人入胜的新的数学现象、关联或反例的揭示）；

好的数学应用（比如应用于物理、工程、计算机科学、统计等领域的重要问题，或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域）；

好的数学展示（比如对新近数学课题的详尽而广博的概览，或一个清晰而动机合理的论证）；

好的数学教学（比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格，或对数学教育的贡献）；

好的数学远见（比如富有成效的长远计划或猜想）；

好的数学品味（比如自身有趣且对重要课题、主题或问题有影响的研究目标）；

好的数学公关（比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就）；

好的元数学（比如数学基础、哲学、历史、学识或实践方面的进展）；（译者注：此处“元数学“”译自"meta-mathematics"，不过这里所举的有些内容，如历史、实践等，通常并不属于元数学的范畴。）

严密的数学（所有细节都正确、细致而完整地给出）；

美丽的数学（比如 Ramanujan 的令人惊奇的恒等式；陈述简单漂亮，证明却很困难的结果）；

优美的数学（比如Paul Erd?s的“来自天书的证明”观念；通过最少的努力得到困难的结果）；（译者注：“来自天书的证明”译自"proofs from the Book"。Paul Erd?s 喜欢将最优美的数学证明说成是来自"The Book"（我将之译为“天书”），他有这样一句名言：你不一定要相信上帝，但应该相信 "The Book"。Erd?s 去世后的第三年，即1998年，Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《来自天书的证明》为书名出版了一本书，收录了几十个优美的数学证明，以纪念 Erd?s。）

创造性的数学（比如本质上新颖的原创技巧、观点或各类结果）；

有用的数学（比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法）；

强有力的数学（比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果，或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论）；

深刻的数学（比如一个明显非平凡的结果，比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象）；

直观的数学（比如一个自然的、容易形象化的论证）；

明确的数学（比如对某一类型的所有客体的分类；对一个数学课题的结论）；

其它[1]。