自 Roth 之后未曾有实质进展的 Fourier 分析方法最终由 Gowers 做了重新考察。和其它方法一样，Fourier 分析方法首先确立了整数集中的二向性，即他们在某种意义上要么是有结构的，要么是伪随机的。这里的结构这一概念是由 Roth 提出的：有结构的集合在中等长度算术序列上有一个密度增量，但有关伪随机或“均匀性”的正确概念却没那么清楚。Gowers 提出了一个反例（事实上这一反例与前面提到的 Host 与 Kra 的例子有着密切的关系），表明以 Fourier 分析为基础的伪随机概念对于控制长度 4 或更长的序列是不够的，他随后引进了一个满足需要的不同的均匀性概念（与 Host 和 Kra 的立方体平均有很密切的关系，与某些超图正规性的概念也有关系）。剩下的工作就是为二向性确立一个定量且严格的形式。这却是一项困难得出人意料的工作（主要是由于这一方法中 Fourier 变换的效用有限），并且在许多方面与 Host-Kra 及 Ziegler 试图将特征因子赋予零系统代数结构的努力相类似。但是，通过将 Fourier 分析工具与诸如 Freiman 定理和 Balog-Szemerédi 定理等加性组合学的主要结果，及一些新的组合与概率方法结合在一起，Gowers 用令人瞩目的高超技巧成功地完成了这一工作，他并且得到了有关 Szemerédi 定理和 van der Waerden 定理的非常强的定量下界[14]。（译者注：Freiman 定理是一个有关具有小和集的整数集中算术序列性质的定理（一个整数集 A 的和集 A+A 是由该整数集本身及其中任意两个数的和组成的集合，小和集则是指 |A+A|<c|A| 的情形，其中 c 为常数。）

　　总结起来，人们给出了 Szemerédi 定理的四种平行的证明；一种是通过直接的组合方法，一种是通过各态历经理论，一种是通过超图理论，还有一种是通过 Fourier 分析及加性组合学。即便有了这么多的证明，我们依然觉得有关自己对这一结果的理解还不完全。比方说，这些方法中没有一种强到能够检测素数中的序列，这主要是由于素数序列的稀疏性（不过，Fourier 方法，或更确切地说 Hardy-Littlewood-Vinogradov 圆法，可以用来证明素数中存在无穷多长度 3 序列，并且在付出很大努力后可以部分地描述长度 4 序列）。但是通过调和分析中的限制理论（这是另一个我们将不在这里讨论的引人入胜的故事），Green 能够将素数“当成”稠密来处理，由此得到了一个有关素数稠密子集的类似于Roth定理的结果。这为相对Szemerédi定理（relative Szemerédi theorem）开启了可能性，使人们能检测整数集以外的其它集合，比如素数，的稠密子集中的算术序列。事实上，一个与相当稀疏的随机集合的稠密子集有关的相对Roth定理（relative Roth theorem）的原型已经出现在了图论文献中。

　　在与 BenGreen 的合作[15]中，我们开始试图将 Gowers 的 Fourier 分析及组合论证方法相对化到诸如稀疏随机集合或伪随机集合的稠密子集这样的情形中。经过许多努力（部分地受到超图理论的启示，它已被很好地用来计算稀疏集合中的结构；也部分地受到 Green 正规性引理的启示，它将图论中的“算术正规性引理”转用到了加性理论中），我们逐渐能够（在一项尚未发表的工作中）检测这类集合中的长度 4 序列。这时候，我们意识到了我们所用的正规性引理与Host-kra 有关特征因子的构造之间的相似性。通过对这些构造的置换[16]（特别依赖于立方体平均），我们可以确立一个令人满意的相对 Szemerédi 定理，它依赖于一个特定的转化原理（transference principle），粗略地说，该原理断言稀疏伪随机集合的稠密子集的行为“就好比”它们在初始集合中就是稠密的。为了将这一定理应用于素数，我们需要将素数包裹在一个适当的伪随机集合（或者更确切地说，伪随机测度）中。对我们来说很偶然的是，Goldston 和 Yildirim 最近有关素数隙的突破[17,18]几乎恰好构造了我们所需要的东西，使我们最终确立了早年的猜想，即素数集包含任意长度的算术序列。（译者注：1. 这里提到的 Tao 与 Green 合作所得的结果“素数集包含任意长度的算术序列”被称为 Green-Tao 定理。2. 这里提到的 Goldston 和 Yildirim 的工作，及原文注[17]提到的故事可参阅拙作孪生素数猜想及该文末尾的补注。）