[8] 同样，圆法的历史也是一段我们无法细述的精彩故事。不过只要提这样一点就足够了，那便是用现代语言来说，这一方法是“Fourier 分析是解决加性组合学问题的重要工具”这一现代标准见解的一部分。

　　[9] 在这之后，Roth 很快就将 Szemerédi 的想法与他自己的 Fourier 分析方法组合在一起，给出了针对长度 4 序列的 Szemerédi 定理的混合证明。

　　[10] 比方说，某些版本的 Furstenberg 论证严重依赖于选择公理，尽管将之修改为不依赖选择公理也是可能的。

　　[11] 对拓扑动力系统也存在类似的对应原理将 van der Waerden 定理与多重回归定理等价起来。这引出了有关拓扑动力学的迷人故事。

　　[12] 这方面的早期例子是 von Neumann 的平均各态历经定理，在其中移位不变函数（shift-invariant function）的因子控制了移位简单平均的极限行为。[13] 这一等级看来与 Furstenberg 在其使保测体系“正规化”的类似探索中所遇到的一系列拓展有关，尽管我们现在对其确切关联还了解得很少。

　　[14] 同样值得一提的是 Shelah 有关 van der Waerden 定理的杰出的创造性证明，它曾经保持着有关这一定理的最佳常数的纪录。

　　[15] 顺便说一下，我最初被这些问题所吸引是因为它们与另一个重大的数学故事，我们在此处没有篇幅讨论的 Kakeya 猜想，之间的联系。它们与前面提到的有关限制理论的故事之间的关系则是多少有点出人意料的。

　　[16] 出于几个原因，这里有一点技巧性。最明显的是各态历经构造本质上是无穷的，但为了处理素数却必须在有限的情况下使用。幸运的是，我曾经尝试过将各态历经方法有限化以便应用于 Szemerédi 定理。虽然那一尝试在当时并不完全，但后来发现它足以对我们研究素数提供帮助。

　　[17] 在我们写论文的时候，我们所采用的构造来自于 Goldston 和 Y?ld?r?m 的一篇文章，那篇文章曾因为一个与我们工作无关的缺陷而被他们收回，后来他们通过一些聪明的新想法弥补了缺陷。这对我们前面提到的一个观点，即一项数学工作不一定要在所有细节上都绝对正确才能对未来的（严密）工作有所助益，是一种支持。

　　[18] 有关素数隙的故事也是一个我们无法在这里讲述的有趣的故事。

　　附录：Alain Connes 的评论

　　Good Mathematics?

　　......很难评论 Tao 的这篇文章，第二部分有关 Szemeredi 定理的个例不错且很有趣，但第一部分有那种艺术家试图通过一系列标准来定义美的痛苦意味。这种类型的判断是如此主观，我很真切地感到除了显而易见的傲慢自大外没学到任何东西......（译者注：Connes 提到的这种“傲慢自大”Tao 自己也提到了，并试图予以说明（本译文上篇最后两段），但看来说明是徒劳的。还是 Hardy 看得比较透彻，他说：“对一位职业数学家来说，发觉自己在writing about mathematics 是一种郁闷的感觉”，Hardy 自己虽然也做了这件“郁闷”的事，但那时他已经63岁，比 Tao 大了一倍。）

Alain Connes 发表于 "Noncommutative Geometry"（2007-02-19）

　　本文经译者卢昌海先生授权刊登。欲读译者更多文章，可查看卢昌海个人主页，或点击页面左下角“阅读原文”直达该网站。

　　延伸阅读

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