因此，从策略上讲比较合理的做法是，在每个领域内就数学进展中什么品质最应该受到鼓励做一个起码是部分的（但与时俱进的）调查，以便在该领域的每个发展阶段都能最有效地发展和推进该领域。比方说，开奖，某个领域也许急需解决一些紧迫的问题；另一个领域也许在翘首以待一个可以理顺大量已有成果的理论框架，或一个宏大的方案或一系列猜想来激发新的结果；其它领域则也许会从对关键定理的新的、更简单及更概念化的证明中获益匪浅；而更多的领域也许需要更大的公开性，以及关于其课题的透彻介绍，以吸引更多的兴趣和参与。

　　因此，对什么是好数学的确定会并且也应当高度依赖一个领域自身的状况。这种确定还应当不断地更新与争论，无论是在领域内还是从通过旁观者。如前所述，有关一个领域应当如何发展的调查，若不及时检验和更正，很有可能会导致该领域内的不平衡。

　　上面的讨论似乎表明，评价数学品质虽然重要，却是一件复杂得毫无希望的事情，特别是由于许多好的数学成就在上述某些品质上或许得分很高，在其它品质上却不然；同时，这些品质中有许多是主观而难以精确度量的（除非是事后诸葛）。然而，一个令人瞩目的现象是[6]：上述一种意义上的好数学往往倾向于引致许多其它意义上的好数学，由此产生了一个试探性的猜测，即有关高品质数学的普遍观念也许毕竟还是存在的，上述所有特定衡量标准都代表了发现新数学的不同途径，或一个数学故事发展过程中的不同阶段或方面。

　　2.

　　个例研究：Szemerédi 定理

　　现在我们从一般转向特殊，通过考察 Szemerédi 定理——那个声称任何具有正（上）密度的整数子集必定包含任意长度算术序列的漂亮而著名的结果——的内容及历史来说明上段所述的现象。这里我将避免所有的技术细节。（译者注：1. 整数子集A的“上”密度，指的是 lim supN →∞ |A∩[-N,N]|/2N，其中序列 aN 的上极限 lim supN →∞ aN 定义为 AN=supk≥N ak 的极限。2. 算术序列（在后文中有时被简称为序列）指的是由整数组成的等差序列，序列中的整数个数称为算术序列的长度。）

　　这个故事有许多个自然的切入点。我将从 Ramsey 定理——任何有限着色的足够大的完全图必定包含大的单色完全子图（比如任意六人中必有三人要么彼此相识，要么彼此陌生，假定“相识”是一个有良好定义的对称关系）——开始。这个很容易证明（无需用到比迭代鸽笼原理更多的东西）的结果代表了一种新现象的发现，并且开辟了一系列新的数学结果：Ramsey 型定理。这些定理中的每一个都是数学上一个新近洞察的观点“完全无序是不可能的”的不同表述。（译者注：1. 完全图指的是任意两个顶点间都有边相连的图。2. 鸽笼原理也叫 Dirichlet 抽屉原理，它最简单的版本指的是将 n>k 件东西放入 k 个容器中，其中至少有一个容器含有多于一件东西。）

　　最早的 Ramsey 型定理之一（事实上比 Ramsey 定理还早了几年）是 van der Waerden 定理：给定整数集的一个有限着色，其中必有一个单色类包含任意长度算术序列。van der Waerden 的高度递归的证明非常优美，但有一个缺点，那就是它给出的出现第一个给定长度算术序列的定量下界弱得出奇。事实上，这个下界含有序列长度和着色种数的 Ackermann 函数。Erdös 和 Turán 所具有的良好数学品位，以及希望在（当时还是猜想的）素数是否包含任意长度算术序列这一问题上获取进展的企图，使他们对这一定量问题做了进一步的探究[7]。他们推进了一些很强的猜想，其中一个成为了 Szemerédi 定理；另一个则是一个漂亮（但尚未证明）的更强的命题，它声称任何一个倒数和非绝对可和的正整数集都包含任意长度算术序列。（译者注：1. 译文“定量下界”所对应的原文是比较笼统的“quantitative bounds”（即未指明是上界还是下界）。2. Ackermann 函数 A(m,n)（其中m、n为非负整数）的递归定义是：A(0,n)=n+1；A(m,0)=A(m-1,1)；A(m,n)=A(m-1, A(m,n-1))，它的增长速度快于任何初等递归函数（包括指数函数）。3. Tao 对 Erdös 和 Turán 所提出的“更强的命题”的表述略显冗余，其中“非绝对可和”可简化为“非可和”或“发散”（因为他所讨论的是正整数集）。）