这对于几何学就成了一个问题，特别是在量度事物时成了问题。希腊人解决这个问题，很关键地依赖比的概念。同一类的量有比，而且还允许这个比等于两个另一类的量的比，两个比要相等，这要用到欧多克索斯（Eudoxus）的比例理论，而这个理论是希腊几何学里最重要最深刻的思想之一。所以，例如希腊人不说有一个数叫做π，因为π对于他们并不是一个数，他们的说法是：“一个圆（的面积）与立在它的半径上的正方形的面积之比，等于这个圆的圆周与直径之比”。注意，这两个比，前一个是两个面积的比，后一个是两个长度的比。（面积和长度则是不同类的量）在希腊数学中，数π并没有特别的名字，但是希腊人把它与数的比加以比较，阿基米德指出，它略小于22对7之比，略大于223与71之比。

　　这种做法在我们看来很笨拙，但是希腊人用得很好。此外，能够把许许多多的量组织到不同的类别（线段、角、曲面等等）里去，这样的想法在哲学上很令人满意：同一类的量可以用比来互相关联起来，各种各样的比又可以互相比较，这些都是发生在我们意念中的事物。这是一种“理”或者叫“道”，所以，不论在希腊文中还是在拉丁文中，比这个词和表示“理由”或“解释”的词是一样的（在希腊文中，这个词是logos，在拉丁文中是ratio）。无理数，英语作irrational，其中的“irrational”一词（希腊文作alogos）从一开始，就既可以表示“没有比”，也可以表示“没有道理”。

　　这种一丝不苟的理论系统不可避免地与实际量度例如长度、角度等日常需要脱节。天文学家还是继续用他们的六十进位制近似，画地图的人和其他科学家也还是我行我素。当然也有“漏网之鱼”，公元1世纪亚历山大里亚的海伦（Heron of Alexandria）就写过一本书，读起来似乎是想把理论家的发现用于实际的量度。例如，推荐用22/7作为π的近似值应该归功于他（很可能，他之所以选用阿基米德的上界，是因为它是一个比较简单的数）。然而，在理论数学里，数和其他种类的量的区别仍然很坚固。

　　古希腊时期以后，我们可以看到，在西方超过1500年的历史中，有两个主要的主题：第一，希腊人把量分为不同的种类，这种划分慢慢地被废除了；第二，为了做到这一点，数的概念一再地被推广。

　　十进位值

　　表示完整的数的系统最终要归功于印度次大陆的数学家。公元5世纪前（说不定还要早很多），印度人创造了九个符号来表示一到九这些数码，还应用这些数码的位置来表示它们的真的值。这样，在个位上的3就表示三，而在十位上的3则表示三十。这当然也就是现在仍然在应用的；虽然符号已经变了，但是原理未变。大约同时，还发展了定位记号来表示空位，这个记号最终就演化为零。

　　印度天文学广泛地应用正弦，而正弦几乎从来不是完整的数。为了表示它们，使用了一种巴比伦式的六十进位系统，即每一个六十进位的数码都用十进位系统来表示。这样，“三十三和一象限”就可以写成331，15’就是33个单位加上15“分”（“分”是六十进制的概念，就是六十分之一）。

　　十进位值的记数法很早就由印度传到伊斯兰世界。在9世纪的巴格达新建立的哈里发，有一个叫做“阿尔·花拉子米”的人写了一本论印度式记数法的书，就“用了九个符号”。几个世纪以后，阿尔·花拉子米的书被译成了拉丁文，（书名《印度计算术》(Algoritmi de Numero Indorum）。此书中世纪后期在欧洲如此流行，以至于十进位制记数法时常就被叫做“algorism”，其实就是Algoritmi，即阿尔·花拉子米。算法一词也就是由此来的。

　　最值得我们注意的是，在阿尔·花拉子米的书中，零仍然处于特殊的地位。它是一个定位记号，而不是一个数。但是，一旦有了一个记号，而且我们又用它来做算术，定位记号和数的区别很快就消失了。要做多位数的加法和乘法，就需要知道怎样用零去加、去乘。就这样“无”也就慢慢地变成了一个数。

　　像大多的数学概念那样，它们的演进或由于偶然，或由于需要，或由于稀奇，或由于探索的需求，而游刃于某个思维领域。

　　以上内容摘自《普林斯顿数学指南（全3卷）》第一卷的第Ⅱ部分：现代数学的起源。

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