地中海文明在相当一段时期里，把这两种系统都保存下来了。绝大部分日常的数用“几分之一”系统来记。另一方面，天文学和航海需要更大的精确性，所以在这些领域里采用了六十进位制，其中包括时间和角度的量度。现在把一小时分成六十分钟，一分钟分为六十秒，都可以经过希腊天文学家追溯到巴比伦的六十进位制分数。将近四千年来，我们至今还在受着巴比伦书记员的影响。

　　长度并不是数

　　在古希腊时期和希腊化时期的文明里，数学变得更加复杂了。当然，希腊人因为第一个提出数学证明而闻名。试图利用清晰的初始的假设和细心的命题，以严格的演绎方法研究数学，他们是第一个民族。可能正是由此，他们对于数及其与其他量的关系特别小心。

　　大约在公元前4世纪的相当一段时间，希腊人得出了“不可通约量”这个重要发现。就是说，他们发现了把两个已给的量表示成为第三个量的（整数）倍，并不一定能做到。这并不仅是说，长度和数在概念上是不相同的（当然，这一点也很重要），更重要的是希腊人还对不能用数来表示长度给出了证明。

　　他们是这样来论证的。如果两条线段的长度可以用数来表示的话，因为当时人们对于数，最多知道有分数，则在最坏的情况下会用到一些分数。然后，改变长度的单位，就可以断定，这两个长度都相应于完整的数。换句话说，一定可以找到一个长度单位，使得两条线段包含这个单位的个数都是完整的数。这时就说，这两条线段可以“同时度量”，也就说，它们是“可通约的”。

　　然而，玄机在于希腊人还会“证明”两个数并不一定总是可通约的。他们的标准的例子是关于正方形的边和对角线的情况，这时就找不到共同的长度单位。我们并不确切知道希腊人当时是怎样发现它们是“不可通约的”，但是很可能是这样思考的：若从对角线减去边长（即在长的线段中减去短的线段），就会得到一个短于二者的线段（即余量）；如果对角线和边可以用同样的单位来度量，它们的差当然也如此。现在对上面得到的余量和正方形的边再重复上面的程序，即从正方形的边减去第一次的余量（仍是从长的减去短的）多次，例如减了两次，直到第二次的余量又短于第一次的余量为止。第二次的余量仍然可以用公共的单位来度量。于是就看还有余量没有。如果仍然有，就再从第一次的余量减去这个新的第二次的余量多次，直到新的余量又比第二次的余量短为止。结果是：或者减尽了，再也没有余量，或者减不尽，就有了第三次的余量，于是再从第二次的余量中多次减第三次的余量，并如此以往）。结果是：这个过程永远不会终结；相反，它会产生出越来越小的余量线段。

　　最后，余量会短于公共的单位。但原来的推理说明了余量中包含的公共单位的段数仍然是完整的数，而这是不可能的（说到头，任何完整的数都不会小于1），所以，我们就能断定，这个公共单位事实上不存在。

　　当然，对角线也有长度。今天我们会说：若边长是一个单位，则对角线长是√2个单位，这样，上面的论证就说明√2是一个分数。希腊人并不真的知道√2在什么意义下也是一个数。相反地，（希腊人认为）它是一个长度，或者更好是说，它是对角线长度和边的长度之比。把类似的论证用于其他的长度，例如他们还知道面积为1的正方形的边长和面积为10的正方形的边长也是不可通约的。

　　于是，结论就是：长度并不是数，相反，长度是另一类“大小”，即是另一类的“量”。但是现在我们知道所谓“量”的种类是在扩散，其中有数，有长度，有面积，有角度，有体积等等。每一个都必须看成是不同类别的量，而彼此不能比较。