上野健尔 (Kenji Ueno)

　　撰文 上野健尔（著名代数几何学家，京都大学数学系名誉教授，日本数学协会会长，关孝和数学研究所所长）

　　翻译 杨宝山、叶玲

　　好数学之含义随数学之发展一直在变化着，此话题亦和好教科书与好老师相关。我想从以下几个观点来论述。

　　复数和复分析

　　何为好数学？可以分为两种不同类型：针对学习而言，何为好数学；以及针对研究而言，何为好数学。当然，此两种类型亦是彼此相关联的。好数学之概念随数学之发展一直在改变。例如，虚数是卡尔达诺 (Cardano, 1501—1576) 在其名著《大术》(Ars Magna) 中首次引入的。为了求解两个数，其和、其积依次为10、40，而引入虚数（第37章，法则2），这令当时数学家很困惑。卡尔达诺本人对于虚数的实际意义也很犹豫，他写道：

“虚数就是这样可以像通常一样进行算术运算，开奖，这些令人感到神秘的最后结果犹如其名，真是又精致又不中用。”

　　奇怪的是，虽然《大术》主要致力于3次方程和4次方程的解法，但是他却没有考虑3次方程的虚数解，从而使他错过了发现虚数的重要性和有用性。不久，邦贝利 (Bombelli, 1526—1572) 受卡尔达诺著作的激励，利用虚数完整地发展了3次方程理论。甚至，他用虚数还发现常用数的一些奇怪表达式，譬如

其中 i是虚数单位。因为

两边开立方便知，上述等式成立。

邦贝利的著作《代数》(L' Algebra) 在整个欧洲数学家中受到广泛重视，其著作明确呈现出虚数在解代数方程中的重要性。但是，却没有多少数学家愿意接受虚数确实是数。

欧拉 (Euler, 1707—1783) 是个例外。他自由地使用复数并发现一些优美公式，譬如

即使欧拉已经发现许多关于复数的有趣结果，仍然很少有数学家认识到复数是数。因此，在1799 年，高斯 (Gauss, 1777—1855) 写作他的关于代数基本定理的论文，此文陈述了任何具有复系数的方程在复数范围内均有一个根的理论，他避免了利用复数来陈述代数基本定理。取而代之，他将定理改写为，任何具有实系数的方程均可以分解为1 次、2 次不可约多项式的乘积。

完全意识到复数之重要性是在柯西 (Cauchy, 1789—1857) 发现复变函数论（复分析）和黎曼 (Riemann, 1826—1866) 建立代数函数论以及黎曼曲面论之后的事。经过300 余年，几乎所有数学家才认识到复数确实是数。

故事还在继续，在20 世纪30 年代量子力学诞生时，物理学家发现复数的使用是非常关键的。如此一来，复数不仅在数学的许多不同领域扮演着重要角色，在物理学依然如此。现在，复分析学已经成为最漂亮的数学学习课题之一。

可以想象，在高斯的时代就很难说，涉及复数的数学是好数学。你必须在数学上有好的直觉和鉴赏力才行。因此，历史上仅有柯西和黎曼才会深入研究复数。这告诉我们，可供研究的好数学实际上依赖于不同的人。只有随后的数学发展才能证明你当初的选择成功与否。这也告诉我们，只要你对某个课题非常感兴趣，它对你来说就是好数学。

　　好教科书

另一方面，可供学习的好数学就是学习时必须选择好课题。当然，找到相关的好教科书是非常重要的。我想强调一下，没有适合所有人的好教科书。

我有一段特别经历。刚进入大学时，我还没有学过复分析学就曾经试图阅读岩泽健吉 (Kenkichi Iawasawa) 的《代数函数论》。第一章开始是赋值论，从逻辑上讲要理解其推理并不困难。但是，我当初并不知道代数函数域的赋值对应着相应的黎曼曲面上一点这样的事实。因此，我难以理解赋值论的真正含义。这样就没法进一步阅读该书了。几个月之后，我再次阅读该书就稍有入门了，就这样反复重复地阅读这本书。最终，我便能理解该书的内容了，因为其间我不得不学习了一些其他的包括复分析方面的数学知识。

但是，这种方法只有在你找到适合自己的好教科书时才起作用。我还有另一段经历。几乎在阅读岩泽健吉《代数函数论》的同时，我还开始阅读一本关于复流形上的调和积分的书。从这本书中，我第一次了解到黎曼几何、复分析和纤维丛理论。对于当时的我来说，书中包含的许多新的数学概念是如此困难，我不得不反复多次阅读，直到我认为自己掌握了相关课题为止。后来，当我选择复流形论为我的研究领域时，我才发现从这本书中我几乎没有学到什么。这是因为作者在书中仅仅堆砌了已有知识，而没有自己的任何新见解。该书的品位不能和岩泽健吉的书相提并论。当然，如果当初我在此课题上更有天资的话，通过学习调和分析主要结果，也应该独立地在自己的选题上有所建树！现在回头说这些话，无非是想说明一个道理：要为自己认真仔细地选择好教材，以便我们更容易在自己所学课题上发现好的观点和思路。

通常，以名著为教科书还是具有广泛适应性的。但是，如果我们感觉到对它没有多少阅读兴趣的话，那最好还是另换一本再试试看吧。

　　欧氏几何和非欧氏几何