初等几何对于训练正确的逻辑思维非常重要。但是，初等几何往往使人头疼，因为解题并不容易。你经常不得不做辅助线，一旦找到恰当的辅助线，问题便会迎刃而解。这会让你享受到发现的快乐。从这个角度而言，初等几何可谓最令人着迷的数学课题之一。在你苦思冥想证明方法时，你就得同时进行正确的逻辑推理。困难的是逻辑推理并不足以让你找到恰当的辅助线，这要求你得有良好的几何直觉。当然，逻辑推理对于得到证明思路是必需的，而要找到恰当的辅助线，你就得更加努力。常见的情况是，为了考试仅仅死记硬背一些定理和问题的证明过程，而不求甚解，这是一种不好的学习数学的态度和习惯。如果你只是记忆证明过程，就会失去提高你数学能力和数学直觉的良好机会。

如果能了解一点非欧几何知识，初等几何会变得更有吸引力。非欧几何的前期历史是久远的。欧几里得在他的《几何原本》卷 I 中，曾经利用第5公设来证明命题29。

　　命题29

若一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，同旁内角的和等于两直角的和。

　　第5公设

若一条直线落在两条直线上所构成的同旁内角和小于两直角和，则把两条直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角和的一侧相交。

图1. 第5公设

　　通过阅读《几何原本》卷I，可以感觉到欧几里得本人似乎对第5 公设心存犹豫。事实上，随后的古希腊学者一直在努力消除对第5 公设的疑问。他们或者寻求一个更加自然的等价公设来替代它，或者试图把它当作一条定理并给出证明。中世纪的阿拉伯学者也有过这方面尝试。直到17—18 世纪，欧洲数学家也开始卷入这个问题之中，其中的主要人物有萨凯里(Saccheri,1667—1732)。在证明第5 公设的所有这些努力清楚地表明，第5 公设等价于下面的平行公设。

　　平行公设

过已知直线 l外一点 P能且只能做一条直线与已知直线 l 平行。

　　有趣的是，如果把欧氏几何的平行公设变成双曲非欧几何的平行公设后，到底会发生什么？所谓双曲非欧几何的平行公设的含义是，过已知直线 l外一点 P至少能做出两条直线与已知直线 l平行。如果这样的话，便容易推出过已知直线 l外一点 P有无穷多条直线与已知直线 l平行。

图2. 若过点 P的直线 m_1 和 m_2 平行于直线 l，则过点 P的位于 m_1 和 m_2 之间的直线 m也平行于直线 l

　　这似乎是荒谬的。但是，在 1829 年罗巴切夫斯基 (Nikolai Lobachevsky, 1792—1856) 发表了关于新几何学的论文，从双曲非欧几何的平行公设建立了非欧几何。在1832 年波尔约 (Janos Bolyai, 1802—1860) 的有关非欧几何的内容也在他父亲的一本欧氏几何书的附录中出版了。现在，这种新几何学叫做双曲非欧几何。开始的时候，几乎没有数学家相信他们的结果，仅有高斯是个例外。高斯也曾独立发展过非欧几何，却从未发表过他在这方面的成果。后来，有几位几何学家发现了非欧几何的优美的现实模型，非欧几何才逐渐被数学家们所接受。但是甚至在19 世纪末，仍有数学家不愿意承认非欧几何。康德 (Emmanuel Kant, 1724—1804) 把欧氏几何作为他的哲学基础之一。当时的欧洲哲学界普遍认为欧氏几何是绝对真理的化身，它是无懈可击的，它是人类所生存世界的唯一几何解释。