以一种完全不同的面目，高斯在他的一篇论文中，研究了3 维空间曲面的内蕴几何性质。曲面上两点的最短距离不必是直线。黎曼把高斯的理论作为其中一个具体的模型，建立了更一般的几何学，即所谓的黎曼几何学，从而使各种几何学在数学上成为可能。黎曼指出，我们居住的现实世界的几何模型只能由物理来决定。这样一来，他便为爱因斯坦 (Einstein) 的相对论在数学上铺平了道路。

下面的图 3 是一种非欧几何的模型。它是一个单位圆盘，所谓的“直线”在这里对应着圆盘内部的半圆线，这些半圆线均垂直于边界圆，或者说直径。其中任意两个半圆线在交点所成之夹角为这两个半圆线在交点的切线的夹角。这是双曲非欧几何的一种简单明了、富有启发性的模型。庞加莱 (Poincaré) 就是利用这个模型建立了自守函数论。

图3. 双曲非欧几何的一种简单明了的模型

　　以上历史说明，预测一种理论的未来并非易事。不过如果能够多少了解一些非欧几何，我们中学的初等几何学习会更令人兴奋，因为比较一下两种几何的相关定理是非常有意思的。譬如，双曲非欧几何不存在相似性概念。这难道不令人吃惊吗？在欧氏几何中，两个三角形的对应角相等只能得出这两个三角形相似，而非欧几何中这两个三角形必然全等。π —— 圆的周长与直径之比—— 在欧氏几何中完全独立于直径的大小，而在非欧几何中 π 事实上依赖于直径的大小在变化。因此，了解更高级的相关课题，并比较相关课题中的类似概念，可以深化人们的理解能力。这就是说，学习相关课题的更高级知识对于提高自己在课题上的理解力和鉴赏力作用甚大。但是，怎么才能做到这一点呢？仅仅依靠自己是很困难的。所以，有个好老师来点拨你，有一些好朋友来一起讨论大有必要，其效果不可小觑。

　　可供研究的好数学

　　到底何为可供研究的好数学？这涉及数学的许多不同领域和其他学科，它也是不断发展变化的。经常见到的情形是，在数学的某个领域发展的高峰时期，人们感到它非常漂亮和重要。但是，令人遗憾的是剩余的有趣问题异常难解。如果你能解答如此难题，你会无比幸运。不过通常这样的问题确实是非常困难的，你不懈努力却进展甚微。因此，为自己找到一个感兴趣的新兴课题不失为一种明智的作法。另一方面，这种选题的重要性只有未来才可检验，新人是容易捷足先登的。

在我的学生时代，泰希米勒 (Teichmüller) 空间理论发展到高峰，我错误地认为它似乎难有新的进展。但是几十年之后，它在几个不同方向都发展迅速。它和映射类群论相关，亦和物理学纽结理论 (knot theory) 以及弦理论 (string theory) 相关联。一个相关案例是纽结理论。在我的学生时代，纽结理论仅是拓扑学的一个小分支，老师建议我们做这方面研究得有好的几何直觉。那时候只有一种纽结不变式，即所谓亚历山大 (Alexander) 多项式。亚历山大多项式不够强大，不足以用来区分不同的纽结，因此必须有好的几何直觉，直播，才能区分复杂的纽结。新的进展发源于完全不同的领域，即算子代数论。琼斯 (Jones) 发现了以自己命名的关于纽结不变式的琼斯多项式。这个发现之后，各种新的纽结不变式应运而出，从而呈现出 3 维流形拓扑类和纽结理论具有深层关联。现在，纽结理论已经成为数学的最活跃领域之一。这也说明，一个新的发现会彻底改变数学的面貌，使一个非常专门化的领域成为整个数学的中心。

我的一位朋友是纽结理论方面的专家。他曾告诉我，在他年轻时候有许多朋友甚至老师劝他放弃他的研究领域，换成当时的一个活跃领域。但是，他对纽结理论的重要性很自信而没有改变。他做对了。可是不可能每个人都能像他一样幸运。即使你在自己感兴趣的领域辛勤工作不懈努力，也可能难有重要进展。

因此，选取一个新领域或者当时还不活跃的数学领域来研究实际上也是一种冒险。但是，没有这样的挑战，数学就不可能发展。最后，我想概括一下我的观点，可供研究的好数学就是你本人最感兴趣的那些数学，离开它们，你便无法继续你的研究。