柯尔莫哥洛夫画像

　　本文为日本著名数学家、1987年沃尔夫数学奖得主伊藤清为前苏联著名数学家、1980年沃尔夫数学奖得主柯尔莫哥洛夫教授（Kolmogorov，1903-1987）撰写的纪念文章。 其中很多思考很值得我们珍视。

　　撰文

　　伊藤清（1987年沃尔夫数学奖得主，日本著名数学家）

　　当我得知苏联伟大的数学家，84岁的Andreyii Nikolaevich Kolmogorov教授于1987年10月20日离开人世时，atv，我感到像是失去了支柱那样悲哀与孤寂。在我还是学生时（1937年）读了他的名著《概率论的基本概念》之后，便立志钻研概率论，并持续了50年之久。对于我来说，Kolmogorov就是我的数学基础。

　　我与 Kolmogorov 教授仅会过3次面。第一次是1962年国际数学家会议(Stockholm)时，开幕式前我在大厅里漫步。当听见“Ito ? Kolmogorov.”的亲切的招呼声时，我又惊又喜。他用德语问到“你多大年龄？”我答道：“Seiben und vierzig.”他再问：“DreiBig?”（三十几？）大概日本人都显得年轻，我也许被看得年轻了10岁。又过了二三日，H. Cramer教授（全瑞典的大学校长Chancelor，概率论、解析数论的专家）在家里举行了晚餐会，招待出席会议的大约10名有关概率方面的学者。Kolmogorov, J.L. Doob 与我都在其中。

　　第二次是1978年，在参加了国际数学家大会(Helsinki)之后，又出席了概率统计国际学术讨论会 (Vilnius, Lihtuania, USSR)，回国途中，路经莫斯科时，Kolmogorov招待Varadhan(NYU)、Prokhorov（苏联科学院）和我在克里姆林宫旁的一座高雅的餐厅吃了午餐。当时已听说 Kolomogorov对高中的数学教育很热心，招收了一些优秀的学生，亲自开课教授。我便询问了其内容，他举例说：比如向学生展示简单的向量场（速度场）的图，并要求他们画出积分曲线（轨）；又如让学生考虑具体的分枝过程的问题等等，以培养学生的数学直观能力。

　　第三次是在Tbilisi(Georgia, USSR, 1983)召开的日苏概率统计学术讨论会上。当时，尽管他的健康状况不大好，仍然作了讲演，并在宴会上努力创造活跃的气氛。显然年轻的一代是很崇敬他的。

　　Kolmogorov 在数学的几乎所有领域中，都提出了独创的思想，导入了崭新的方法，他的业绩是非常辉煌的。然而，我见到他时给我留下的印象却是不修边幅的温厚的君子形象，这也许正是伟大数学家的形象吧。

　　Kolmogorov 的论文我自认为基本上都好好地读过了，在撰写本稿时，我又对他整个的研究成果做了一个直接或间接的调查。对其研究的广度和深度不得不叹服。由于时间和篇幅的限制，我仅向读者谈一些并不全面的自己的感受。

　　吉泽尚明（京都大学）、池田信行（大阪大学）二位教授及京都大学数理研图书室的各位帮助我查找了资料，在此我表示衷心的感谢。

　　伊藤清

　　01

　　Kolmogorov 简历

　　根据B.V. Gnedenko在Kolmogorov 70寿辰时的讲演，Kolmogorov于1903年诞生于俄罗斯的村镇（现在为市）Tambov。父亲是农学家，母亲在生下Kolmogorov后不久便离开人世，他是被叔母等抚养长大的。1920年（17岁）进入莫斯科大学之前，他当过列车上的乘务员，业余时间写了关于牛顿力学定律的论文，论文的原稿未能保存下来，但我们可以想象他是多么早熟的天才。那时，俄国革命（1917）已经爆发，我很想知道他当时所处的环境，很遗憾没有有关的资料。

　　1920年进入莫斯科大学，最初对俄国的历史感兴趣，还调查了15～16世纪的诺布哥罗德的财产登记。以后参加了V.V. Stepanov 的傅里叶级数（三角级数）讨论班，并于1922年（19岁）写出了关于傅里叶级数、解析集合的著名论文，震动了学术界。其后犹如天马行空，连续发表了许多重要的研究成果。1925年莫斯科大学毕业，1931年当大学教授，1933年任大学数学研究所所长，1937年成为苏联科学院院士。至1987年逝世止，对数学的研究教育作出了很多重大的贡献。

　　02

　　Kolmogorov 的数学观

　　了解 Kolmogorov 的数学观的最好的资料，大概要属苏联大百科辞典中他所执笔的“数学”部分吧。已经出了英文版，我读了英文版，与原文（俄语）比较，英文版稍微缩略了一些，在这篇文章中，他先阐述了其数学观，然后通述了自古至今的数学史，并且从他的数学观出发，详细描述了这个历史的各个阶段，它可以说是为数学家、科学家们所写的数学史。我饶有兴趣地一口气读完了全篇。要说明 Kolmogorov 的数学观，不仅应当看这篇文章的开始部分，也应当参照占该文大部分的数学史，但由于篇幅及时问的限制，我仅将文章的开始部分简要介绍如下。

　　根据 Kolmogorov的观点，数学是现实世界中的数量关系与空间形式的科学。

　　(1) 因此数学的研究对像是产生于现实中的。然而作为数学加以研究时，必须离开现实的素材（数学的抽象性）。