嘉当关于标架丛的工作，德·拉姆定理，它们始终隐藏在陈省身思想的背后。纤维丛是现代数学的核心概念，它把许多重要的数学和物理对象统一起来。以下我简单描述一下纤维丛的历史。

　　斯蒂弗尔（1936）和惠特尼（1937）引入了斯蒂弗尔-惠特尼示性类，但它只在模 2 的情形下有定义。

　　费尔德保（J. Feldbau）（1939）、艾瑞斯曼（C. Ehresmann）（1941，1942，1943）、陈省身（1944，1945）和斯廷罗德（N. Steenrod）（1944）系统研究了纤维丛的拓扑。

　　庞特里亚金（1942）引入了庞特里亚金示性类。他还在1944年把黎曼流形的曲率与拓扑不变量建立联系（发表在 Doklady 杂志上）。这依赖于流形的嵌入，他开始并没有意识到这些不变量就是庞特里亚金类。

　　在高斯-博内公式的证明中，我们可以找到k个一般位置的向量场 s1, …, sk。它们线性无关的点构成了一个与 si 的选取无关的（k－1）维闭链。这是斯蒂弗尔的工作（1936）。惠特尼（1937）考虑了更一般的球丛的截面，从阻碍理论的角度对它们加以理解。

　　惠特尼注意到 中 q平面组成的格拉斯曼流形 G( q, N) 上的万有丛的重要性。他在1937年证明，流形上的任意秩为 q 的丛都可以由 G( q, N) 上的万有丛经过映射f: M → G( q, N) 来诱导。

　　当N 很大时，庞特里亚金（1942）和斯廷罗德（1944）注意到映射只相差一个同伦。丛的示性类按如下给出：

　　上同调H*(Gr(q, N)) 由艾瑞斯曼（1936）做了研究，它们可以由舒伯特胞腔生成。

　　陈省身当时大概想证明庞氏的曲率不变量就是庞氏类，但在实的情形下，舒伯特的胞腔比较复杂。

　　陈省身说：“也许略带幸运，我在1944年注意到了一个平凡的事实，复向量丛的情形要比实的情形简单许多。因为大多数经典的复空间，如经典的复的格拉斯曼流形，复的斯蒂弗尔流形等都是无扭的。”

　　对复向量丛 E，陈省身因此引进了陈类 。陈省身用三种不同的方法加以定义：阻碍理论、舒伯特胞腔以及丛上联络的曲率形式。他证明了这些方法的等价性。陈氏类成为近代数学最重要的不变量。

陈省身的基本论文（1946）

　　在文章《埃尔米特流形上的示性类》（Characteristicclasses of Hermitian manifolds）中，陈为复流形的埃尔米特几何奠定了基础。比如，他引入了埃尔米特联络的概念。如果 Ω 是向量丛的曲率形式，我们定义

。

　　用微分形式定义陈类，对几何学与现代物理都有极为重要的意义。一个例子就是陈省身创造的超渡的概念。

　　超渡（Transgression） 令φ是在与向量丛相配的标价丛上定义的联络形式，那么曲率形式为

　　所以

　　类似的

　　其中 CS(φ) 称为陈-西蒙斯形式，在三维流形、反常消除问题、弦理论、固态物理中起着基本重要的作用。

　　在微分形式的层次上做超渡引出了同调群上的二级运算。比如，梅西乘积，这出现在陈国才关于迭代积分的工作中。

　　当流形是复的，我们记

。

　　在一篇重要的文章中，博特（R. Bott）-陈（1965）发现，存在一个典则构造的（i－1，i－1）形式 , 使得 。

　　陈省身应用这个定理推广了高维复流形间全纯映照值分布的奈旺林纳（R.H. Nevanlinna）理论。

　　微分形式 后来在阿莱克勒夫（S.J. Arakelov）理论中起了基本的作用。

　　唐纳森（S.K. Donaldson）用的情形证明了关于代数曲面上埃尔米特-杨-米尔斯联络存在性的唐纳森-乌伦贝克（K. Uhlenbeck）-丘定理。

　　当i= 1 时，

,

　　其中 是埃尔米特度量，等式右边是度量的里奇张量。第一陈类是如此简洁，这促使卡拉比（E. Calabi）提出了他的著名猜想。

　　陈类的曲率表示意味着陈数可以通过曲率的积分得到。这使得Hirzebruch可以用局部对称空间来推导比例性原理，即覆盖空间与底空间的陈数之比正比于与体积之比。类似的，这也启发我用凯勒-爱因斯坦度量给出了米姚卡-丘不等式的证明。所有这些定理都是以陈类的曲率表示为前提的。

　　正如陈省身所说的那样，复数域上几何的简洁与美妙无论如何也不会被夸大。

陈省身（战后回国）