1932年，布拉施克访问北京。他做了题为“微分几何中的拓扑问题”的演讲，主要讨论了微分同胚伪群及其局部不变量。陈省身开始考虑整体微分几何，并且认识到代数拓扑的重要性。他读了维布伦（O. Veblen）的书《位置分析》（Analysis Situs，1922）。

　　1934年，他去德国汉堡大学跟随布拉施克学习。阿廷（E. Artin）、赫克（E. Hecke）和凯勒（E. Kähler）也在那里。布拉施克那时主要研究网几何与积分几何。陈省身开始研读赛弗特-特雷法尔（Seifert-Threlfall）的《拓扑学讲义》（1934）和亚历山德罗夫-霍普夫（Alexandroff-Hopf）的专著《拓扑学》（1935）。

陈省身接受的教育（凯勒、嘉当）

　　在汉堡大学时，凯勒在讨论班上讲解了他写的小册子《微分方程组理论导引》，就是现在所称的凯勒-嘉当理论。陈省身是这个讨论班的忠实学生。

　　1936~1937年，陈省身来到法国巴黎，跟随嘉当研究活动标架法和等价方法，并且更深入研究了凯勒-嘉当理论。他在巴黎逗留了十个月，每两周与嘉当会面一次。

　　陈省身于1937年夏回到中国。他用了几年时间研究嘉当的工作。他曾说，嘉当一生中的论著超过三千页，他至少读过其中的百分之七八十。有一些文章他反复研读过好多次。在战争年代的孤立环境下，很容易做到全身心地阅读和思考。

　　陈省身评价嘉当说：“他毫无疑问是本世纪最伟大的数学家之一，他的学术生涯体现出了一种罕见的睿智与谦逊的融合。1940年，我努力研读嘉当的著作，意识到联络的概念将会发挥重要的作用，于是我写了几篇论文，对一个给定的几何结构配上联络。”

　　陈省身几乎是唯一的能够很好掌握嘉当工作的几何学家。甚至像外尔那样的大师都认为嘉当的论著很难读。外尔说：“嘉当无疑是微分几何领域仍然健在的最伟大的人物……不得不承认的是，我发现嘉当的书和他的大多数论文一样，艰深难读……”

等价问题

　　陈省身的大多数工作与等价问题有关。1869年，克里斯托费尔（E. Christoffel）和利普希茨（R. Lipschitz）解决了黎曼几何中的等价问题，这个有着基本重要性的问题被称为“形式问题”：为了确定两个 ds2 是否只相差一个坐标变换，克里斯托费尔引入了现在被称为列维-齐维塔联络的协变微分。

　　嘉当把这个问题推广到更一般的情形，被称为等价问题。

　　等价问题 给定分别在坐标xk,x*l 下的两组线性无关的线性微分形式 θi, θ*j，其中 1≤i, j, k, l ≤n；给定一个李群，要求找到合适的条件，使得存在函数，并且 θ*j在经过如上替换后，与相差 G 中的一个变换。

　　这个问题与局部不变量有关，嘉当给出了生成这些不变量的具体步骤。陈的大部分工作都与这个问题有关。

陈省身（1932—1943）

　　在此期间，他研究了网几何、射影线几何，射影空间中子流形对的切触不变量以及孤立子理论中的贝可隆（A.V. Bäcklund）变换有关的曲面变换。陈省身后来在与格里菲思（P. Griffiths）和滕楚莲的合作中，继续这方面的研究。

　　陈省身在他的博士论文中研究了射影微分几何。简单来说，这个学科的一个基本问题是：找到子流形在射影变换群下的一族完全的局部不变量，并用与简单几何图形的密切来给出几何上的解释。

　　射影几何中的另一个典型问题是，用正规射影联络研究道路结构的几何。例如，索菲斯·李的学生特雷斯（Tresse）用空间（x, y, y'）中的正规射影联络研究了由积分曲线 y'' = F（x, y, y'）定义的道路。

　　陈省身把上面的工作推广到 n 维。给定满足一组微分方程的 2( n－1)维曲线族，使得在每一点给定一个方向，正好有一条这样的曲线和它相切。陈定义了正规射影联络，把结论推广到子流形族。

　　1940~1942年期间，atv，陈省身开始推广由克罗夫顿（M.W. Crofton）和布拉施克发展起来的积分几何。他注意到，这种几何可以用具有相同李群 G 的两个齐性空间来更好地加以理解。于是，有 G 的两个子群 H与 K，满足

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