两个陪集 aH 与 bK称为互相关联，如果它们在 G 中相交。用这种方法，他推广了克罗夫顿的许多重要公式。1952年，他推广了庞加莱、桑塔洛（L.A. Santaló）和布拉施克的运动公式。

　　韦伊评价陈省身的一篇有关文章：它把布拉施克学派的工作一举推进到更高的水平。文章所显现的非凡才能和深刻见解给我留下了很深的印象。

陈省身对普林斯顿的访问（1943）

　　1943年，陈受到维布伦和外尔的邀请，从昆明前往普林斯顿。外尔是陈心目中的英雄。纤维丛理论发端于嘉当和惠特尼的工作。斯蒂弗尔-惠特尼示性类只在模 2 同调上有定义。韦伊当时刚刚发表了他关于高斯-博内公式的论文，他把托德和埃格尔关于代数几何中典则类的工作告诉了陈。这些工作秉承了意大利代数几何学派的风格，用到了一些未经证明的结果。

　　陈省身所做的第一项基本重要性的工作就是给出了高斯-博内公式的内蕴证明。这个公式的简约历史可以叙述如下：

　　高斯在其开创性论文《关于曲面的一般研究》（Disquistiones Circa Superficies Curvas，1827）中，首先求出了关于测地三角形的公式：他考虑的是中的曲面，并且用了高斯映射。

　　博内（O. Bonnet）在1848年的一篇论文（Mémoire sur la théorie générale des surfaces, J. De l’Ecole Poly. Tome 19, Cahier 32 (1848) 1-146.）中，把高斯的公式推广到以一条任意曲线为边界的单连通区域。

　　戴克（W. Dyck）在1888年（Beiträgezur analysis situs, Math Annalen32(1888) 457-512.），把高斯-博内公式推广到任意亏格的曲面。

　　1925年，霍普夫把公式推广到 中的余维数为 1 的超曲面。1940年，艾伦多弗（C.B. Allendoerfer）和费恩雪尔（W. Fenchel）研究了可以嵌入到欧氏空间中的可定向闭黎曼流形。1943年，艾伦多弗和韦伊把公式推广到闭黎曼多面体，也即一般的闭黎曼流形。但证明仍然要用到流形到欧氏空间的等距嵌入。

　　韦伊把他们的工作和陈省身的工作做了比较：基于外尔和其他一些人的工作，我们的依赖于“管子”的证明虽然的确要用到（当时还不明了）球丛的构造，也就是一个给定浸入的横截丛，但不是内蕴的。陈的证明第一次清楚地引入了内蕴丛，也就是单位长度的切向量丛上的运算，让整个领域的面貌焕然一新。

　　一个世纪前，高斯建立了内蕴几何的概念。陈的关于高斯-博内定理的证明开创了全新的领域。整体拓扑通过纤维丛以及切球丛上的超渡，与内蕴几何建立了联系。我们看到了整体内蕴几何揭开了崭新的一页。

　　以下我们来看，陈省身的证明甚至在二维情形都是全新的。

　　利用活动标架，曲面的结构方程可以写为

　　这里 ω12 是联络形式，K是高斯曲率。如果单位向量 e1 由一个整体定义的向量场V 按如下给出：

　　其中在 V≠ 0 处有定义。应用斯托克斯公式可以得到

　　其中B(xi) 是一个以 xi 为圆心的小圆盘，并且 可以用向量场 V 在 xi 处的指标来计算。根据霍普夫的一个定理，向量场的指标之和等于空间的欧拉数。这样曲面上曲率的积分就给出了欧拉数。

　　在高维的情况下，陈省身的证明中用到的是单位切球丛。曲率形式 Ωij 是反对称的，其 Pfaffian 形式是

　　相应的高斯-博内公式是

　　为了证明高斯-博内公式，必须找到单位球丛上的形式 Ⅱ，使得 Ⅱ 是 Pf 的提升。虽说陈省身的证明受到霍普夫向量场定理的启发，但充分反映了陈省身过人的洞察力与精湛的运算技巧。霍普夫曾说过，陈的证明把微分几何学带入了一个崭新的时代。特别是诞生了“超渡”的概念。这是现代数学史上最了不起的工作之一。

陈类

　　陈省身说：“我最早接触示性类，是由于高斯-博内公式，这是每个学过曲面论的人熟知的公式。早在1943年，当我给出维高斯-博内公式的内蕴证明以后，我认识到，应用曲面论中的正交标架，那么经典的高斯-博内公式不过是高斯绝妙定理的一个整体性的结果。这个证明的代数方面是后来被称为‘超渡’的构造的第一个实例，超渡注定了会在纤维丛同调论和其他一些问题中扮演基本重要的角色。”