我们坚信吴文俊先生的观点：构造性算法式证明是中国传统数学的宝贵传统，相比于停留在逻辑演绎层面的理论体系，算法体系才是纯粹数学的终极形式，具有严密理论根基的实用性算法才能和计算机科学紧密结合，从而推动人类文明的前进。虽然暂时不被人们理解，我们被吴文俊先生光辉思想所指引，坚信自己工作的历史价值，会更加坚定不移地奋斗下去！

　　计算机辅助设计-示性类理论

　　在计算机辅助设计领域（Computer Aided Design，CAD），各种几何曲面都有分片有理多项式（NURBS）来逼近，即所谓的样条表示（Spline Representation）。在进行工业设计的时候，人们往往需要曲面具有较高的光滑性，例如轿车表面需要曲率连续，即所谓的光滑性。拓扑简单的样条曲面理论已经发展完备，例如经典的极形式理论（Polar form， Blossom）。如何构建拓扑复杂的样条曲面，使得其具有全局的光滑性，一直是CAD领域最为核心的基本问题。数十年来，这一问题一直悬而未决，困扰了无数的科学家和工程技术专家。在两千年左右，秦宏教授和我深入地研究了这一问题，最后我们建立了流形样条理论，这一理论的本质是吴文俊先生的示性类理论。

　　图2. 流形样条。

　　传统的样条理论实质是建立在仿射几何（Affine Geometry）基础之上的，样条表示等价于极形式，其构造基本部件是控制点对应参数的仿射不变量。如果我们能够将传统样条理论推广到流形上，j2直播，那么我们需要这个流形容许仿射几何，换言之这个流形具有仿射结构（Affine Structure）。例如，如果我们能够在一张封闭的曲面上定义极形式，我们需要找到曲面一个图册（Atlas），使得所有的局部坐标变换都是仿射变换。那么，如何判定给定的曲面上是否存在仿射结构？吴文俊先生的示性类理论给出了这一问题直接了当的回答：如果曲面存在仿射结构，则其拓扑障碍类为0。具体而言，仿射结构诱导一个曲率为0的联络，其示性类为0，在曲面情形，曲面亏格为1。这一理论指出了当初CAD领域样条理论的根本缺陷，同时给出了流形样条的构造方法，指导了这一领域的理论发展。

　　计算机辅助制造-示嵌类

　　在计算机辅助制造（Computer Aided Engineering）和计算力学领域，经常对机械零件进行物理模拟仿真，在实体上求解各种偏微分方程。经典的方法是将实体进行四面体三角剖分，即所谓的网格生成问题（Mesh Generation）。一般情况下，为了保证网格的质量，人们需要在网格中加入Steiner点，并且进行Delaunay三角剖分。这里面具有许多基本的组合几何问题，例如给定实体在不加点的情况下是否存在三角剖分（Decomposible）；给定一个三角剖分，是否存在一个四面体的排序方式，使得每次拿掉一个四面体，不改变余下复形的拓扑（Shellability）。这些组合几何问题本质上和吴文俊先生发展的示嵌类、示痕类有着本质的联系，它们给出了一个拓扑复形在欧式空间中嵌入方式的全局拓扑障碍。

　　图3. 网格生成。

　　CAE的另外一种方法是所谓的等几何分析方法（Isogeometric Analysis Method），这种方法用体样条来取代有限元方法。为了构造体样条，实体需要被剖分成具有特殊结构的六面体网格，这一问题在CAE领域被称为是“神圣网格”问题。大连理工大学的罗钟铉、雷娜团队和我们合作，提出了解决神圣网格问题的理论基础：神圣网格在实体表面诱导了曲面的叶状结构（foliations），而叶状结构和黎曼面的全纯二次微分等价。因此，从计算全纯二次微分入手，我们可以自动生成神圣网格，奇异线的数目达到理论下界。

　　图4. 神圣网格。

　　实质上，吴文俊示性类揭示了仿射结构全局存在性的拓扑障碍；如果我们将仿射结构拓宽成射影结构，那么射影结构是全局存在的。更进一步，如何刻画射影结构的多寡？这就是曲面的叶状结构，或者全纯二次微分。简而言之，曲面本身的共形结构加上一个叶状结构就得到一个复射影结构。从这个角度而言，我们神圣网格的探索道路是直接受到吴先生示性类的启发而开拓的。

　　图5. 叶状结构（foliation）。

　　计算机视觉-吴方法