通过考虑环圈，物理学家可以提高他们的实验精度。（增加环圈就像是计算更多的有效数字一样）。但每次物理学家增加一个环圈，需要考虑的费曼图的数量以及对应积分的难度，就会急剧增加。例如，包含一个环圈的简单系统可能只需要一个费曼图，相同系统的双环圈版本则需要7个费曼图，3个环圈需要72个费曼图。将其增加到5个环圈，需要计算大约12000个积分­——相当于数年的计算量。

　　相比计算冗长乏味的积分，物理学家更愿意观察给定的费曼图的结构来获得最终振幅，就像数学家把周期与动机相联系一样。

　　“这个过程如此复杂，积分如此困难，所以我们想做的是仅仅以费曼图开始，获得对最终结果（最终积分或周期）的洞察”，Brown说。

　　不可思议的联系

　　1994年，Kreimer和英国开放大学的物理学家David Broadhurst在1995年首次将周期和振幅联系在一起，1995年又发表了一篇后续论文。这项工作使数学家推测，所有振幅都是混合泰特动机的周期——以哈佛大学荣誉教授约翰·泰特（John Tate）命名的一种特殊动机。泰特动机中所有周期都是黎曼ζ函数（数论中最有影响力的结构之一）的多个数值。在电子-正电子入射、μ子-反μ子出射的情况下，振幅的主要部分来自黎曼ζ函数取3时的6倍。

　　如果所有振幅都是黎曼ζ函数的多个数值，那么物理学家就可以对一类明确定义的数字进行研究。但在2012年Brown和他的合作者OliverSchnetz证明事实并非如此。虽然物理学家目前遇到的所有振幅可能都混合泰特动机的周期，“但那里潜伏着怪物，会阻碍你的工作”，Brown说。这些怪物 “肯定是周期，但它们并不是人们期望的那种漂亮简单的周期”。

　　不过，物理学家和数学家知道的是，费曼图中环圈的数量似乎与被称作“权重”（weight）的数学概念有关。权重是一个数字，它与积分的空间维度有关：一维空间上的积分的权重可以为0,1或2；二维空间上的周期积分的权重最高可以为4，等等。权重也可以用于将周期分为不同类型：据推测，所有权重为0的周期为代数数，它可以是多项式方程的解（这还没有得到证明）；钟摆的周期权重总是1; pi是权重为2的周期；并且黎曼ζ函数的值的权重总是等于取值的2倍（因此黎曼ζ函数取3时，其权重为6）。

　　这种通过权重的对周期分类的方法也被用在了费曼图中：费曼图中的环圈的数量以某种方式与其振幅的权重相关联。没有环圈的费曼图的振幅权重为；一个环圈的费曼图的振幅是混合泰特动机的所有周期，并且权重最多为4。对于更多环圈的费曼图，数学家怀疑这种关系依然存在，即使他们还没有算出这个结果。

　　“如果我们研究更多的环圈的费曼图，我们就能看到一种更加普遍的周期，”Kreimer说。 “有一些数学家对此非常感兴趣，因为他们不太了解不属于非混合泰特动机的动机。”

　　数学家和物理学家目前正在试图确定问题的范围和解决问题。数学家向物理学家推荐可用于描述费曼图的函数（及其积分）。物理学家得到不同的粒子碰撞过程，这又需要数学家用函数之外的东西来解释。“物理学家如此迅速地吸收相当深入的数学思想，这让人惊叹”，j2直播，Brown说，“为了向物理学家提供所需的数学，我们已经用尽了经典数字和函数”。

　　大自然的群

　　自17世纪以来，微积分不断发展，物理世界中出现的数字已经告诉我们数学的进步。今天也是这样的情况。Brown说，来自物理学的周期“就像是神以某种方式创造的，这意味着它一定包含许多结构，这是数学家很难想出或发明出来的”。

　　Kreimer补充说：“大自然想要的周期似乎是一个比数学能够定义的周期更小的集合，但是我们不能非常清楚地定义这个子集是什么。”

　　Brown正在试图证明有一种数学上的群——伽罗瓦群（Galois group）可以作用在费曼图周期的集合上。“对于目前已经计算的每一个例子，答案似乎都是肯定的”，他说，但证明这种关系明确存在仍然遥不可及。“如果确实存在一个群可以作用在来自物理的数字上，那就意味着你找到了一大类对称性”，Brown说，“如果这是真的，那么下一个问题就是为什么存在这个巨大的对称群以及可能的物理意义是什么”。