这个过程中，首先分析由多项式函数的解定义的几何对象（称为“代数变量”），而不是分析函数本身。接下来，数学家试图理解这些几何对象的基本性质。为了实现这个目的，他们发展了所谓的“同调论”（cohomology theories），这种方法可以识别出几何对象的结构，无论生成这些几何对象的具体多项式方程是什么。

　　到20世纪60年代，同调论已经变得让人眼花缭乱，出现了奇异上同调（singular cohomology），德拉姆上同调（de Rhamcohomology），平展上同调（étale cohomology）等等。对于什么才是代数变量中最重要的特征，似乎不同的人有不同的看法。

　　在一片混乱中，数学先驱亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，2014年去世）意识到，所有的同调理论都只不过是同一事物的不同版本。

　　“格罗滕迪克发现，对于代数变量，无论你如何计算不同的同调论，你总是以某种方式找到同样的结果”，Brown说。

　　同样的结果就是所有这些同调论的中心，格罗滕迪克将这种独特的东西称为“动机”（motive）。“在音乐中，这意味着一个反复出现的主题。对于格罗滕迪克，动机是某种不同形式、反复出现的东西，但它是一样的”，格罗滕迪克曾经的同事、巴黎高等科学研究所的数学家Pierre Cartier说。

　　在某种意义上，动机是多项式方程的基元，就像是很大的数字可以分解成素数的乘积，素数就是大数的基元。动机也有与之关联的数据。正如你可以将物质分解成元素并描述每个元素的特征（如原子数、原子量等等）——数学家用基本的度量描述动机。这些度量中最重要的就是动机的周期。如果在一个多项式方程系统中得到的动机的周期与在不同系统中得到的动机的周期相同，那么动机就是相同的。

　　牛津数学家Minhyong Kim说：“一旦知道了周期，它们是具体的数字，就几乎等同于知道了动机本身。”

　　观察同样的周期如何在意想不到情况下出现，一个直接的例子就是观察π。Cartier说，“这是得到周期的最有名的例子。”π在各种各样的几何中出现：定义一维圆的函数的积分，定义二维圆的函数的积分，以及定义球的函数的积分。明显不同的积分中出现同一个数字，过去的思想家也一定感到非常神秘。这个相同的价值将重复出现在看似不同寻常的整合可能是古代思想家的神秘。Brown在一封电子邮件中写道：“现代的解释是，球体和实心圆具有相同的动机，因此它们必须具有相同的周期。

　　复杂的费曼图

　　如果说好奇的心灵很久以前就想知道为什么在圆和球的计算中会出现类似π的数，那么今天的数学家和物理学家想知道为什么这些数会出自另一种几何对象——费曼图。

　　费曼图有一个基本的几何特征，即费曼图由线段射线和顶点组成。为了理解如何构造费曼图，以及为什么费曼图在物理学中非常有用，我们可以想象一个简单的实验装置，其中电子和正电子碰撞产生μ子和反μ子。为了计算发生这种结果的概率，物理学家需要知道每个入射粒子的质量和动量以及跟粒子路径有关的量。在量子力学中，粒子的路径可以看成是其所有可能路径的平均值。计算该路径需要进行积分，这称为“费曼路径积分”。

　　在粒子碰撞过程中，粒子从开始到结束每个可能的路径都可以用费曼图表示，并且每个费曼图都具有对应的积分（费曼图和它对应的积分是一样的）。为了计算特定的起始条件所产生的特定结果的概率，你需要考虑所有可能的费曼图，对每一项进行，并将这些积分求和。得到的数字就是费曼图的振幅。计算这个数的平方得到的就是概率。

　　对于电子和正电子碰撞产生μ子和反μ子，这个方法简单易行。但这只是无聊的物理。物理学家真正关心的实验涉及带有环圈（loop）的费曼图。环圈表示粒子发射然后重新吸收额外粒子的情况。当电子与正电子碰撞产生最后的μ子和反μ子对之前，可能发生无限数量的中间碰撞。在这些中间碰撞中，像光子这样的新粒子在被观察到之前出现并湮灭。入射和出射粒子与之前的描述相同，但是那些没有观察到的碰撞过程仍然可能对结果产生微妙的影响。

　　“这就像某种可以组装的玩具。一旦你画了一个费曼图，你可以根据理论的规则连接更多线条”，加州大学河滨分校的物理学家Flip Tanedo说， “你可以连接更多的棍子，更多的节点，让它更加复杂”。