即使是这样一个简化的三体系统，也不存在解析解，更不用提由太阳和多个行星构成的N体系统了。换而言之，对于两体以上的多体问题，我们很难或者说根本找不到一个完美的公式可以永远准确地预测它们的信息，对于它们轨道的长期稳定性问题更是无从谈起。

　　庞加莱的这一研究无疑是一项超越时代的工作，他发现，行星系统中存在哪怕一点微小的扰动都有可能是压垮太阳系的最后一根稻草，这也是混沌思想的雏型。虽然现在“蝴蝶效应”人尽皆知，但在当时这却是与主流思想背道而驰的观点。要知道十九世纪末期，大家对自然界的基本理解多倾向于拉普拉斯的决定论。人们更愿意乐观地相信，根据现在的状态，人类有能力预测未来的一切。然而，庞加莱的理论恰恰预示着完美的、可预知性的终结。他发现拉普拉斯等人在计算太阳系稳定性时所采用的基本近似方法，并不适用于长时间的轨道预估，太阳系中各行星的命运都必须用概率表述。

　　3

　　计算机中的太阳系

　　太阳系的稳定性问题自牛顿提出，历时3个世纪，虽然曾有无数天文学家、数学家前赴后继，也未能寻求到最终答案。幸运的是，自20世纪80年代开始，随着数值模拟突飞猛进地发展，天文学家已经能够利用超级计算机对太阳系各成员行星进行高精度地追踪模拟。其中，成果之一就是直接证明了太阳系命运的不可预测性[1,2,3,8]，与一百年前庞加莱的想法不谋而合。

　　3.1

　　数值模拟的困境

　　对陨石的化学元素分析表明，太阳系大约形成于46亿年前[9]，其中主星太阳目前正处于主序星的壮年期，燃料充足，状态稳定。然而，根据恒星的基本演化规律，太阳接下来将由于内部氢燃料耗尽成为一颗红巨星，伴随温度降低，体积膨胀，水星、金星将被完全吞噬，整个太阳系濒临死亡。距离这一阶段，差不多还有80亿年的时间[4]。而在此之前，太阳系是稳定的么？

　　其实，解答太阳系稳定性问题的最直接办法就是采用计算机模拟，追踪行星几十亿年后的轨道演化。所幸，我们已知太阳系所有行星的质量和轨道参数，而近邻星和银河系的潮汐作用，甚至包括彗星、小行星、卫星等引力作用都可以合并简化计算或设置为无穷小量。

　　利用数值计算的方法模拟太阳系的稳定性主要面临两个挑战。第一，如何在数值计算的过程中，使行星轨道在几百亿个周期时间内能够保持足够的计算精度。这个问题随着20世纪90年代辛积分算法（symplectic integration algorithms）的兴起而得以解决。第二，在追踪行星轨道的演化过程中，如何尽可能地缩短计算时长。当然，随着过去五十年间计算机硬件计算速度的指数提升（摩尔定律），这一问题也得以改善。然而，由于近几年计算速度的提升主要得益于并行计算，即将一个计算问题分配到几百甚至几千个线程同时进行运算，这一优化却并不适用了追踪行星演化。因为行星系统的演化是个连续性问题，如果你需要追踪一百年后的轨道演化，你就必须首先获取一百年前的轨迹信息。因此，如何推算太阳系中各行星在数十亿年间的演化仍旧是个难题。

　　3.2

　　混沌的太阳系

　　为了克服这一困境，巴黎天文台的拉斯克（Lasker）在计算机代数的基础上，发展出一种在时间上向前推算行星运动的近似方法，包含了行星间微弱的引力扰动，使得太阳系的模拟演化时标长达数十亿年[1,2,3,11]。

　　结果表明，分布于太阳系外部区域的四大巨行星——木星、土星、天王星和海王星，在整个太阳系存续期间（80亿年内）都是相对稳定的（甚至可以认为它们在1千万亿年的时间跨度内都是稳定地）[1]。相反地，处于太阳系内部区域的四个类地行星——水星、金星、地球和火星，则活跃的多，其轨道离心率在长时间演化过程中，变动较大且无序（图4）。