我们可以用爬山法来进行优化。图12,13显示了保面元和保体元的同胚映射，其计算就是基于这个算法。更多的计算工具，数据测试集合可以在[2]中找到。

图12. 曲面保面积参数化[4]。

　　图13. 保体元的参数化[3]。

　　小结

　　一个黎曼流形上的所有概率测度构成一个无穷维的流形，即所谓的Wasserstein空间。任意两个概率测度之间存在最优传输映射，这个映射的传输代价给出了两个概率测度之间的距离，被称为是Wasserstein距离。因此，Wasserstein空间是一个黎曼流形。

　　在工程和医学的诸多领域，算法的核心是寻找一个概率测度，例如机器学习算法。Wasserstein距离给出了衡量概率测度相似程度的严密方法，这是为什么近几年来最优传输理论异常火热的根本原因。

　　但是，计算最优传输本身并不容易，目前计算机视觉、图形学、机器学习、医学图像的研究者都努力用各种优化方法，工程技巧来提高计算效率。我们可以预见在不久的将来，最优传输理论将会在更多的实际工程中大放异彩。

　　（丘成桐先生邀请杜克大学的刘建国教授在清华大学数学科学中心，于2016年暑期学校，讲述最优传输理论课程[1]。本文根据课堂笔记整理而成。笔者鸣谢丘成桐先生和刘建国教授。）

　　参考资料

　　[1] Fillipo Santambrogio, Optimal Transport for Applied Mathematicians - Calculus of Variations, PDEs and Modeling

　　[2] ~gu/software/omt/index.html

　　[3] Kehua Su, Wei Chen, Na Lei, Junwei Zhang, Kun Qian and Xianfeng Gu, Volume Preserving Mesh Parameterization based on Optimal Mass Transportation, Journal of Computer-Aided Design (CAD), 2016.

　　[4] Xin Zhao, Zhengyu Su, Xianfeng David Gu, Arie Kaufman, Jian Sun, Jie Gao, Feng Luo, Area-preservation Mapping using Optimal Mass Transport, IEEE TVCG, 19（12）, Pages 2838-2847, 2013.

　　[5] Xianfeng Gu, Feng Luo, Jian Sun and Shing-Tung Yau, Variational Principles forMinkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere

　　Equations, Vol. 20, No. 2, pp. 383-398, Asian Journal of Mathematics (AJM), April 2016.

　　延伸阅读

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