撰文

　　顾险峰（纽约州立大学石溪分校终身教授）

　　引言

　　依随智能手机的大规模普及，数字摄影已经成为很多人生活中不可或缺的习惯。随着数字图像处理技术的蓬勃发展，PS作为数字图像处理的代名词（photoshop），在普罗大众中早已耳熟能详。数字图像处理中，最为基本的算法非“色彩变换”（Color Transfer）莫属。

　　图1. 直方图均衡化结果（histogram equalization）。

直方图均衡化是提高灰度图像对比度的常见算法。如图1所示，左侧输入图像的灰度分布在一个狭窄区域，朦胧昏暗；右侧是直方图均衡化的结果，清晰明亮，对比鲜明。我们设输入图像像素的灰度为一随机变量，其取值范围为单位区间，其概率测度为，直方图均衡化算法的核心就是求灰度空间（单位区间）到自身的一个映射，这一映射将变换成均匀分布。

图2. 基于最优传输的色彩变换。

　　数据驱动的色彩变换可以视作是直方图均衡化的直接推广。图2显示了一个算例，左侧是输入图像，阴霾遍布下的麦地，阴郁苍凉，中间是范例图像，晴空下的麦穗，右图是输出图像，一扫阴霾，麦浪金黄，明媚爽朗。我们将图像中的每个像素颜色表示成（红，绿，蓝）三元组，所有可能的颜色空间表示成单位立方体，像素为矢量值的随机变量，取值于颜色空间。输入图像的颜色分布的概率测度为，范例图像的颜色分布的概率测度为。我们寻找颜色空间的自映射，将概率测度映成概率测度。将输入图像每个像素的颜色进行变换，从而生成输出图像。

图3. 输入图像。

图4. 范例图像。

　　图5. 输出图像。

　　图3至图5展示了另外一个例子，输入图像颜色的概率测度变换成范例图像颜色的概率测度，从而生成了输出图像。图6的鹦鹉图像也进行了颜色变换。

　　图6. 输入的鹦鹉图像。

　　图7. 示例图像。

　　图8. 输出图像。

　　这些颜色变换的算法是基于最优传输理论（Optimal Mass Transportation）。最近，最优传输理论被广泛应用于工程和医疗中的诸多领域，例如直接应用于图像颜色变换、图像注册、曲面保面积参数化和体的保体元参数化、曲面或体的注册。特别是在机器学习中，最优传输理论起到了至关重要的作用。下面我们简单介绍最优传输理论梗概。

　　蒙日关于最优传输问题的提法

　　假设和是完备，可分的度量空间，和是分别定义在和空间上的概率测度。传输代价函数为光滑函数，代表从点传输单位质量到点所花费的代价。令为从空间到空间的映射，将推前为空间上的概率测度，其定义如下：令为任意的波莱尔集，则

。

　　历史上，法国数学家蒙日（Monge）早在1781年就提出了最优传输问题，我们在这里称之为蒙日问题：求保测度的具有最小传输代价的映射，

。

　　这一问题的提法非常具有普适性，特别是它具有天然的经济学意义。