我们可以用下面的例子来理解最优传输问题的提法：假设空间和都是美国的疆域，是某一年马铃薯的亩产率，在点，是当年每英亩出产马铃薯的吨数；是当年马铃薯的每英亩消耗率，在点，是当年每英亩消耗掉的马铃薯的吨数。美国政府需要制定一个马铃薯传输方案，，将马铃薯从生产地点运输到消费地点，使得全国达到供需平衡，即

　　，同时使得总的传输代价最小。这恰恰就是最有传输问题。

　　蒙日提出的传输代价是距离，，数学分析相对困难。因此最优传输问题的理论发展一直停滞不前，岁月蹉跎了一百五十多年，直至1940年代。

　　康塔洛维奇的提法

　　蒙日的提法中，保测度的映射所构成的空间不具备紧性，这为问题的解决带来了本质的难度。1939年，俄罗斯数学家康塔洛维奇（Kantorovich）将传输映射（transportation map）推广为传输方案（transportation plan），从而巧妙地将问题转化，带来实质性的突破。

　　在蒙日的传输映射中，任意一点处生产的所有马铃薯，只能运送到唯一的像点。但是在实际生活中，一点处生产的马铃薯可以运送到多个像点，甚至是多个区域，这就是所谓的传输方案。换句话说，传输映射每点的像是一个点，开奖，传输方案每点的像是一个集合。

　　为了表达传输方案，康塔洛维奇在空间上定义了一个概率测度，代表点处生产的马铃薯有多少运送到了点。那么显然，处所生产的所有马铃薯为，点处所收到的所有马铃薯为。我们定义投影映射如下：

,

　　那么如上边际概率条件可以表示为:

　　。

　　康塔洛维奇关于最优传输问题的提法如下：。

　　我们可以看到可容许概率测度的泛函空间是一个凸集合，关于的能量泛函是一个线性泛函，紧凸集合上的线性函数达到最大和最小值，如此，康塔洛维奇的最优传输方案的存在性得以保证。

　　康塔洛维奇将空间和表示成离散点集，和；将概率测度和离散成狄拉克测度，和; 同时将传输方案离散成狄拉克测度。这样，最优传输方案问题就被转换成经典的线性规划问题，

　　虽然理论上线性规划问题的复杂度为NP，实际中，我们可以用经典的单纯形法或者内点法快速解出。

　　鉴于最优传输问题的巨大经济价值，康塔洛维奇获得了1975年度的诺贝尔经济学奖。

　　对偶提法

　　康塔洛维奇的提法将最优传输问题转化成凸限制下的线性优化问题，这个问题存在对偶的提法。我们可以从对偶问题上看出更多的几何直觉。我们将边际概率测度的限制条件换种方式表达，考察下面的泛函：

　　这里是有界连续函数。显然，联合概率分布，则泛函值为0；否则，泛函值为。由此，康塔洛维奇问题可以等价表述为：

　　注意，在这里测度没有任何限制，其在总空间上的积分也可以不等于1。

　　在特定条件下，我们可以交换极小，极大算子，从而得到：

　　我们再考察后一项

　　如果在某一点处，成立严格的不等式：，我们取，则上式趋于。反之，如果，并且在某点处等号成立，则上式为0。由此，我们可以得到对偶问题的提法：

,

　　这里是有界连续函数。

　　通常情况下，蒙日泛函，对偶泛函和康塔洛维奇泛函满足不等式，

,

　　问题的核心在于：何时等号成立？何时最优传输方案称为最优传输映射？

　　勒让德变换-包络

　　对偶问题具有非常直观的几何洞察，为此我们先考察凸几何中的勒让德变换(Legendre transform)。

　　图9. 勒让德变换。