Haldane conjecture 被证实，Haldane phase 被观测，以及同时代实验和理论上的一系列进展（比如量子霍尔效应的实验发现和理论解释），让人们开始认识到，除了以往的对称破缺相以外，自然界中还普遍存在另一大类非平凡的拓扑物质形态或拓扑相，这些相有能隙，没有传统的长程序，超越Landau 对称破缺理论，而且某些非平凡的特性（比如存在边界态）能对抗微扰而稳定的存在。Haldane phase，以及前面提到的整数和分数量子霍尔效应，以及高温超导触发的关于（有能隙的）自旋液体的大量研究，都是拓扑相的范畴。还有更激动人心的非对易自旋液体的出现，更是颠覆了人们以往对物质的相的认识。这些非平凡的量子相有一个共同的特点，即低能有效理论由拓扑场论（其中包括拓扑量子场论）或代数所描述，用拓扑的语言来分类，因而被统称为拓扑相。而前面提到的θ-term 只不过是拓扑的一种形式而已，还有Wess-Zumino-Witten-term, Chern-Simons-term，BF term 等等，甚至是某种代数。拓扑相目前已成为凝聚态物理中一个非常重要的研究领域。能够在80 年代就意识拓扑相和拓扑物态，正是Haldane 大叔目光深远的地方。不过Haldane 大叔自己可能也没有想到，30 多年来，凝聚态物理中的拓扑物态研究，已经变成一股汪洋恣肆的洪流，蔚为大观。

　　人们对自然的认识是随时间推移而逐步明朗化清晰化的。前面提到了各种不同的拓扑相，却并不一定都具有（内禀）拓扑序。现在人们意识到，对称性与拓扑之间有着深刻的关系，而拓扑对物理性质的影响大致可分为两种，一种比较“脆弱”，依赖于对称性的存在而存在；而另一种则更“坚强”，即使系统不存在对称性仍然具有非平凡的拓扑特性。相应地，拓扑相分为对称保护拓扑相和内禀拓扑相（如果内禀拓扑相还具有全局对称性则还会细分为对称丰富拓扑相）。其中的本质区别，正是多体纠缠的区别：前者只有短程纠缠，而后者具有长程纠缠！Haldane phase 就是典型的对称保护拓扑相的例子Gu and Wen [2009], Chen et al. [2012]，只具有短程纠缠，并不具有内禀的拓扑序。这些新的概念颠覆了人们早期对Haldane 相的认识，它们产生的历史过程也颇为曲折。而正是这些概念的澄清，使得我们对物质的理解更加深刻，也有助于我们去发现和预言更多的新奇的物质形态。

　　目前，以Haldane phase 和拓扑绝缘体为代表的对称性保护拓扑相（英文symmetry protected topological phases, 简称SPT），以及SPT 之间的拓扑相变，已然发展成凝聚态理论的前沿领域。在这股SPT 和拓扑相变的大潮中，笔者也在亲身参与着，比如将Haldane phase 向不同对对称群和更高维度的推广Liu et al. [2012, 2014],以及将前文中的1+1 维NSL+ θ-term 的拓扑相变推广到2+1 维，atv，并用大规模的量子蒙特卡洛模拟严格地研究这样的拓扑相变He et al. [2016],Wu et al. [2016]，正是我们的工作，有荣与焉！

　　参考文献

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　　[2] Xie Chen, Zheng-Cheng Gu, Zheng-Xin Liu, and Xiao-Gang Wen. Symmetry protected topological orders in interacting bosonic systems. Science, 338:1604, 2012.

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