图2. (a) 反铁磁海森堡自旋梯子的量子蒙特卡洛模拟结果。纵轴为磁化率，横轴为温度。偶数条腿的自旋梯子，相当于S 为整数的自旋链，具有能隙，磁化率在低温下指数地降为零；奇数条腿的自旋梯子，相当于S 为半整数的自旋链，没有能隙，磁化率在低温下为常数。(b) S = 1 的反铁磁海森堡自旋链中的边界态。(c) S = 1 的反铁磁海森堡自旋链中的Haldane gap, L 为链长度，在链为无穷长时（1/L^2 = 0）, gap 为有限值。

　　AKLT 模型与S=1 的反铁磁海森堡模型并不完全一致，但它们的基态都属于Haldane phase，具有共同的性质。随后人们发现，Haldane phase 中虽然没有明显的对称破缺，却存在隐藏的对称破缺，而且可以通过所谓的弦序参量（string order）

　　来描述这一隐藏的对称破缺造成的长程序den Nijs and Rommelse [1989]。值得注意的是，被破缺的隐藏的对称性是非局域的对称性，与通常的global 的对称性是不同的。而且弦序参量本身也是非局域的，不同于通常意义上的局域物理量的长程关联（如下式）。

　　由于具有上述一系列非平凡的物理性质，Haldane phase 是目前公认的早期被发现的拓扑相之一（另一个典型的例子是量子霍尔态）。Haldane 猜想提出不久便吸引了数值和实验上的大量的研究。下面我们来看看Haldane phase, Haldane gap 存在的证据。

　　90 年代初，Steven White 发明了密度矩阵重正化群的计算方法，并在S = 1 反铁磁海森堡模型自旋链中直接看到S = 1/2 的自旋边界态和体内有限大小的Haldane gap (如图2(b,c) 所示)White [1992], White and Huse[1993]; 而整数和半整数自旋的反铁磁自旋链，还可以推广的具有偶数和奇数条腿的S=1/2 反铁磁海森堡自旋梯子，如图2(a) 所示，对于自旋梯子的量子蒙特卡洛模拟中，整数和半整数自旋在能谱上的不同也被清楚地看到Dagotto and Rice [1996]。

　　实验学家嗅觉也异常灵敏，80 年代便有实验数据显示了Haldane gap 的存在。后来陆续不少实验验证了基态的无序，以及参杂后断链处出现S = 1/2 的边界磁矩。图3中显示的是S = 1 的反铁磁自旋链材料CsNiCl3的非弹性中子散射谱Kenzelmann et al. [2002]，人们清楚地看到了自旋能隙。

　　图3. 自旋链材料CsNiCl3 的中子散射谱，Ni2+ 离子自旋S=1，排成链狀。转移动量Qc=1.00 处的自旋能隙清晰可见。

　　现在，我们回到理论上的问题，尝试着从凝聚态场论的角度，理解Haldane 大叔的猜想和其中拓扑思想的精髓。Haldane 首先指出反铁磁自旋链的低能有效作用量可以用拓扑O(3) Nonlinear sigma（NLS）模型来描述。人们熟悉的通常的O(3) NLS 作用量为

　　Haldane 指出，需要在上述作用量的基础上加上一个现在被称为θ-term 的拓扑项（两者合起来被称为拓扑NLS）

　　其中 = 2S，S 可以为整数或者半整数，n(x; t) 是单位矢量，j2直播，描述连续时空中的自旋场局域反铁磁序的方向，(x; t) 是2 维连续时空坐标（术语叫1+1 维）。这个拓扑项θ-term 正是Haldane 猜想产生的根源。

　　为了看清这个θ-term 的影响，我们不妨先不考虑它，看看普通的NLS 中会发生什么。如果把NLS 中的单位矢量 n换成标量? , 则其经典运动方程为：，从而给出色散关系：，在k = 0 处, 系统是无能隙的。但是，由于n 是单位矢量，各个方向的运动方程互相制约，不再是线性的，结果会导致系统能谱有一个有限的能隙。能隙的产生可以从n(x; t) 在1+1 维路径积分中的拓扑非平庸的涨落来理解，如图4(b) 所示。我们注意到1+1 维反铁磁自旋链的NLS 存在一个经典的孤子解（或瞬子），即所谓的skyrmion，如图4(c) 所示，其自旋构型像一个刺猬球，是拓扑非平庸的。在skyrmion 构型中，当跑遍时空每一点，局域反铁磁序n(x; t)的指向正好遍历球面上的所有方向一次。用拓扑的语言来说，反铁磁序参量n（或自旋指向）在时空中的缠绕数是1。