图4. (a) 反铁磁自旋链的磁有序构型。(b) 自旋场局域反铁磁序参量n(x; t) 在1+1 维无穷时空中的表述，其中中间的点与（c）中球面的南极点对应，无穷远点与(c) 图球面的北极点对应。(c) 自旋场局域反铁磁序参量n(x; t) 形成的skyrmion 自旋场在球面上的表述。

　　由于skyrmion 构型中无穷远点的磁序的方向被翻转，从而skyrmion 的出现倾向于破坏自旋长程序。在路径积分：

　　中我们必须考虑具有不同skyrmion 数目的自旋构型（skyrmion 数目即自旋指向在时空中的缠绕数，可以是任意整数）的贡献。由于skyrmion 构型只消耗有限的作用量，skyrmion 的平均密度是有限大小的。结果就是自旋长程序被skyrmion 的涨落所破坏，自旋关联在时空中都是短程的。也就是说，量子涨落使系统打开了有限的能隙。因此，如果没有θ-term, 系统本身是有能隙的。

　　那么作用量中的拓扑项Stop会起到什么作用呢？注意到如果闭合时空中的自旋构型中有一个skyrmion，则拓扑项中的积分正好是球面的立体角4π，因此拓扑项就是给每一个skyrmion 附加一个θ相位。或者说，作用量中的拓扑项贡献的相位等于skyrmion 数目N 乘以θ。由于闭合时空中的skyrmion 数必须为整数，当θ= 2π或者2π的整数倍的时候（S 为整数自旋），拓扑项也是2π的整数倍，从而对路径积分完全没有贡献，可以预期系统的能谱和θ= 0 时一致，仍然是有能隙的；当 θ= π或者 的 π 奇数倍的时候（S 为半整数自旋），拓扑项将对路径积分贡献一个非平庸的符号(??-1)^N：也就是说，拓扑项对路径积分在N 为奇数时贡献一个负号，而N 为偶数时贡献一个正号。由于不同的符号会在路径积分：

　　中发生严重的干涉效应，使得半整数自旋系统的性质与没有拓扑项的情况相比会发生质的改变。但究竟会发生什么样的改变呢？在当时，通过Bethe-ansatz 的严格解，人们已经知道S=1/2 的反铁磁海森堡模型基态上的激发是无能隙的。基于此，Haldane 大叔大胆猜测，所有半整数自旋反铁磁链，激发都是无能隙的！简而言之，就是对于整数自旋的系统（如S=1），拓扑项的存在不改变其有能隙的能谱；而对于半整数的自旋系统（如S=1/2），拓扑项的存在引入路径积分中的干涉效应，是能谱变得无能隙。从前文中各位看官已经知道了答案，历史的发展证明Haldane大叔的猜想是正确的。

　　从上面的分析看来，θ-term 似乎只对半整数自旋链产生了影响。而对整数自旋，它只对闭合时空路径积分贡献一个平凡的因子1。这是否意味着θ-term 对于整数自旋系统的基态完全不起作用呢？不然！好戏还在后面。为了看清θ-term 的影响，我们考虑开放边界条件下的路径积分。假设1+1 维的时空具有柱面的形状，那么由于时空不闭合，拓扑项不再量子化为2πS 的整数倍。但是如果我们把柱面的两端的圆盘补上（如图5所示），则时空的拓扑项（侧面）加上补上的两端圆盘面的拓扑项的总和是2πS 的整数倍。换句话说，侧面拓扑项等于2πS 的整数倍减去两端圆盘面的拓扑项。因此，拓扑项的影响可归结为空间两个端点处的积分给出的相位，而每个端点处的相位

　　(这里u 是边界上引入的辅助坐标) 等于自旋所张开的立体角Ω 乘以S/2, 与大小为S/2 的自由自旋绝热演化的Berry phase 完全一致Ng [1994]。这意味着对于整数自旋S 的反铁磁海森堡链，开放边界条件下，其基态存在两个自旋为S/2 的边界态！这样体内有gap, 边界上有边界态的相，就是Haldane phase。Haldane phase 可以通过在模型中加入其它的自旋的相互作用，关闭Haldane gap 而进入拓扑平庸的相，这其中的相变，就是1+1 维NSL +θ-term 的拓扑相变。

　　图5. 开边界条件下的1+1 维路径积分。