撰文

　　孟子杨（中科院物理所）、刘正鑫（人民大学）

　　今年的诺贝尔物理学奖授予了三位理论物理学家，分别是美国华盛顿大学的 David J. Thouless、普林斯顿大学的 F. Duncan M. Haldane和布朗大学的 J. Michael Kosterlitz，以表彰他们在凝聚态中拓扑相变和拓扑相方面的杰出贡献。作为在这一领域工作的晚辈研究者，我们衷心地为几位前辈的获奖而感到高兴，同时也深受鼓舞。Haldane获奖的主要原因是以他命名的 Haldane conjecture和后来提出的反常量子霍尔理论模型（后者对拓扑绝缘体的发现和整数反常霍尔材料的制备起了重要的作用）。这篇小文，就从这位和蔼可亲的 Haldane大叔和他著名的猜想讲起。

　　让我们一起回到上个世纪八十年代。对于凝聚态物理，那是一个激动人心的时代，一系列重要的故事都发生在这个年代：高温超导体和量子霍尔效应相继被发现（前者目前在理论上还没有完全定论，但是后者就是拓扑物质形态的代表）。两个实验上的突破激励着理论上的重大变革：统治了凝聚态物理学几十年 Landau理论，包括费米液体理论和基于对称自发破缺的连续相变理论受到挑战，再也招架不住实验上革命性的新发现的连续攻势。新的理论应运而生，其中包括拓扑相和拓扑序这些崭新的概念。Haldane大叔在一维反铁磁自旋链中的著名的工作就是在这个时代完成的。

　　1983年 Haldane大叔做出了一个猜想：整数和半整数具有反铁磁海森堡相互作用的量子自旋链，

　　它们的基态都没有长程反铁磁序（与之相对的是，经典反铁磁自旋链在零温下具有反铁磁长程序），但其磁激发谱有很大的不同，前者的磁激发谱有能隙，而后者没有Haldane [1983a,b]。

　　图1. S=1 的AKLT 模型基态。每个S=1 的自旋（图中的椭圆）可以拆成两个S=1/2 （图中的黑点），两个S=1/2 又可以组合成一个自旋单态。系统在体内是自旋单态的直积，在左右边界上各有一个S=1/2 的边界态。

　　Haldane这个猜想为什么如此有名呢？原因有三。其一，80年代以前，人们还沉浸在 Landau的对称破缺理论中，还是习惯于从对称性破缺和长程序来区分物质的不同形态或者相，而 Haldane的猜想犹如一声惊雷，让人们开始关注没有对称破缺的物质形态，里面有一个很大的未开垦的王国，即拓扑物质形态，或拓扑相；其二，整数和半整数自旋的区别完全是量子力学的效应，是量子的威力在宏观的强关联多体系统中的体现，没有经典的物理对应；其三，Haldane预言的量子相在实验上被实现，其猜想的正确性也被大量研究所证实。

　　Haldane还研究了海森堡相互作用中存在各向异性的情况，阐明能隙的存在是很稳定的，不受 XXZ类型或单离子或其他类型的各项异性项的影响。由于整数自旋（特别是S=1）的反铁磁链中的能隙不受微扰的影响，这个稳定存在的有能隙的量子态构成一个非平庸的量子相（其基态没有对称破缺，但因为存在边界态，而与平庸的有能隙的直积态有本质区别），后来被称为 Haldane phase。

　　Haldane有着过人的计算能力和良好的物理直觉。其猜想是从准经典的角度，在磁有序的经典基态上考虑量子涨落，并在大的时间和空间尺度下取连续极限，通过场论的分析而得到的。由于其理论相对比较晦涩，这些我们放到本文后半部分讲解，这里先说说 Haldane猜想对后来研究产生的影响。

　　在 Haldane大叔提出 conjecture之后不久，Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki四位大佬提出了后来以其名字命名的 AKLT模型Affleck et al. [1987]（其基态可以严格的得到，如图1所示），简洁而漂亮阐述了S=1的自旋反铁磁链的基态，即 Haldane phase，并证明了其（1）没有反铁磁长程序；（2）具有有限的能隙；（3）具有自旋S=1/2的边界态。其中第三条是 Haldane phase最异乎寻常也最引人注意的地方。可惜的是 Haldane本人没有意识到整数自旋链具有半整数自旋边界态这个奇特性质，后来才被 Tai-Kai Ng从场论角度解释清楚Ng [1994]。看来 Nobel奖级的大人物的思维也有断电的时候:-)；亦或是 Haldane大叔宅心仁厚，给后人分一杯羹。