运营学会二项分布，在涉及概率的各种活动中，将变得游刃有余。它的原理甚至能用到AB测试。大学考试中二项概率需要查专门的概率表计算，不过现在各类工具层出不穷，Python、R、Excel都能直接计算。

泊松概率分布

泊松概率是另外一个常用的离散型随机变量，它主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数。比如一天内中奖的个数，一个月内某机器损坏的次数等。

泊松概率的成立条件是在任意两个长度相等的区间中，时间发生的概率是相同的，并且事件是否发生都是相互独立的。

泊松概率既然表示事件在一个区间发生的次数，这里的次数就不会有上限，x取值可以无限大，只是可能性无限接近0，f(x)的最终值很小。

x代表发生x次，u代表发生次数的数学期望，概率函数为：

现在又举办了一个新的运营活动，这次的中奖概率未知，只知24小时内中奖的平均个数为5个，老板异想天开地想知道24小时内恰巧中奖次数为7的概率是多少？

此时x=7，u=5（区间内发生的平均次数就是期望），代入公式求出概率为10.44%。Excel中的函数为POISSON.DIST。

接下来继续加大问题难度，求中奖次数至少7次的概率。此时f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=86.66%，那么至少七次的概率为13.33%。

如果问题变成12小时内呢？老板希望知道12小时内中奖次数为3次的概率是多少？

24小时内中奖概率的期望数是5，那么12小时内的中奖概率期望数是2.5，于是令u=2.5，求出12小时内中奖次数为3的概率是79.99%。

泊松概率还有一个重要性质，它的数学期望和方差相等，所以上题的方差为2.5，标准差为根号2.5，即1.58。

正态分布

上述分布都是离散概率分布，当随机变量是连续型时，情况就完全不一样了。因为离散概率的本质是求x取某个特定值的概率，而连续随机变量不行，它的取值是可以无限分割的，它取某个值时概率近似于0。连续变量是随机变量在某个区间内取值的概率，此时的概率函数叫做概率密度函数。

正态概率分布是连续型随机变量中最重要的分布。世界上绝大部分的分布都属于正态分布，人的身高体重、考试成绩、降雨量等都近似服从。

正态分布如同一条钟形曲线。中间高，两边低，左右对称。想象身高体重、考试成绩，是否都呈现这一类分布态势：大部分数据集中在某处，小部分往两端倾斜。

正态概率密度函数为：

是不是看得头晕了？u代表均值，σ代表标准差，两者不同的取值将会造成不同形状的正态分布。均值表示正态分布的左右偏移，标准差决定曲线的宽度和平坦，标准差越大曲线越平坦。

以前介绍过一个正态分布的经验法则：

正态随机变量有69.3%的值在均值加减一个标准差的范围内，95.4%的值在两个标准差内，99.7%的值在三个标准差内。这条经验法则可以帮助我们快速计算数据的大体分布。

均值u=0，标准差σ=1的正态分布叫做标准正态分布。它的随机变量用z表示，它是推断统计的基础。将均值和标准差代入正态概率密度函数，得到一个简化的公式：

现在可以用简化的公式计算概率密度了。首先学习一个新的函数叫累计分布函数，它是概率密度函数的积分。用P(X<=x)表示随机变量小于或者等于某个数值的概率，F(x) = P(X<=x)。

曲线就是概率密度函数，当x取某个值时，曲线上f(x)点的数值即表示随机变量在对应的x点值的取值概率，曲线与X轴相交的阴影面积就是累计分布函数。我们不妨把概率密度函数按其名字简单理解成「密度」，atv，毕竟连续变量只有在区间中才有计算的意义，于是密度函数充当了辅助计算的角色。分析中我们更多实用累计分布函数。

标准正态分布中，给定一个值z，可以计算随机变量z小于等于某一个值的概率；z在两个值之间的概率；以及z大于等于一个值的概率。这三种计算都用到累计分布函数，分别记作P(z<=x)，P(x1<=z<=x2)，P(z>=x)。

首先计算z小于等于1的概率，即P(z<=1)。由excel 的函数NORM.DIST(1,0,1,TRUE)求得值为0.8413。于是P(z<=1)=0.8413。同理，P(z>1) = 1-P(z<=1) = 0.1586。

若要计算z在区间-1～1.25的概率，即P(-1<=z<=1.25)。可以将其拆解为公式：P(-1<=z<=1.25) = P(z<=1.25) – P(z<=-1) = 0.735。