康托尔可以说是数学史上最富有想像力的数学家之一，其所开创的集合论则可以说是人类最伟大发明之一－－当年康托尔面临的，正是数学界几百年几千年的疑惧：“无限”。

1-1+1-1+1… = 0, 1 还是 1/2？ 0.99999….. = 1？还是 <1？

无限有多大？正整数、整数 （正整数 / 负整数 / 0）、实数（有理数 / 无理数） ……等数系的数量相同吗？

Z+： ∞ （正整数有无限多个）， Z-： ∞ （负整数有无限多个）， Z： ∞ （整数有无限多个）。

因此： ∞ = 2∞+1 （所有整数个数 = 正整数个数+负整数个数 + 一个 0）， 移项得： -∞ = 1，

故： ∞ = -1 …？！

为了处理“无限”这个长久得不到解决的难题，康托尔在 19 世纪下半叶创立了「集合」理论，证明了各个数系虽然是都是无限多，还是有数量上的差别：

| 正整数 | = | 整数 | = | 有理数 | < | 无理数 | = | 实数 | = | 复数 |

无限多的正整数数量 = 无限多的整数数量 = 无限多的有理数数量 < 无限多的无理数数量 = 无限多的实数数量 = 无限多的复数数量

然而集合论实在太过创新、对于无限的解释也背离了传统，刚开始时康托尔受到了严厉的谴责与挞伐。

但随后，许多年轻的数学家开始意识到集合论非常的有用－－基于自然数 （正整数）与集合论，当时一切的数学成果都可以成功被推证出来。

1900 年在国际数学家大会上，法国数学家庞加莱兴高采烈地宣称：“借助集合论，我们可以建造起整个数学大厦。”1925 年，希尔伯特也提出了「希尔伯特旅馆悖论」来应和康托尔的理论。

然而康托尔集合论仍然面临了许多问题。首先是连续统假设－－我们已知：

| 正整数 | = | 整数 | = | 有理数 | < | 无理数 | = | 实数 | = | 复数 |

那么还有没有一个数系，介于此二者间呢？

始终证明不出问题、又受到世人无数攻讦的康托尔，晚年发了疯、死在精神病院中。

但除此之外，集合论还有一个问题是罗素悖论：“这句话是假的。”读者只要稍加推论就会发现：如果这句话是真的，那么这句话是假的会成立……？！如果这句话是假的，那这句话就是真的……？！ 这个命题就矛盾了。

罗素悖论应用在集合论的问题即是：如果我们创造一个集合 A，里面收集了所有不包含在自己这个集合的集合：A = {x|x∉x}。若是 A∈A 成立，则 A 是 A 的集合、使得 A∉A。但若 A∉A，则符合命题，使得 A∈A。

好不容易我们在集合论的基础上构筑起了数学大厦，结果发现集合论也是不完美的。究竟能不能找到一个完备的系统，从上面建筑起整个数学的基础呢？

这样的系统是否存在呢？希尔伯特除了在 23 个问题中的第一个问题提出「连续统假设」，身为康托尔坚定的拥护者，也在第二个问题中提了这样的难题。

这也接续到我们先前的介绍：再后来哥德尔成功证明了不完备定理、解决了 23 个问题中的第二个问题，到图灵用图灵机的概念更加简单明了的重新演绎一次哥德尔不完备定理，最后冯．纽曼基于通用图灵机的概念、建出了第一台具备现代电脑架构雏形的电脑。

电脑是怎么来的，居然爬梳出这么多的问题？

哲学：不懈探究真理的精神

若要探究下去，你知道：康托尔、希尔伯特、哥德尔、冯．纽曼…等人都是德国人吗（哥德尔和冯．纽曼皆为奥匈帝国人）？19 世纪的德国究竟是一个什么样的时代，造就了如此多的数学大家？

事实上，你知道这些数学家同时还有着哲学家的头衔吗？更进一步来说，19 世纪知名德国哲学家，尚包括了：黑格尔、叔本华、马克思、尼采、康德… 毫无疑问地，当时的德国可说是欧洲最具代表性的哲学重镇。

哲学反映了人类对真理的追求，体现人类的智能与认知极限。因而数学的发展不只是解一些生活问题，而成为一种学问、一种探求真理的道路与哲学手段。

哲学在西方文化中扮演了非常重要的角色，也是现代科学会出现在欧洲的重要原因。至于西方哲学追求真理的精神，又是起源于何时何处呢？这又要回溯到希腊时期，比如亚里斯多德的三段式证法或毕达哥拉斯学派……

观察过往，出现像上述‘无限有多大“这样的数学危机，在人类史上也不是第一次发生了：负数的英文为－－Negative Number、无理数－－Irrational Number、虚数－－Imaginary Number。否定的 （Negative）、不合理的 （Irrational）、想像的 （Imaginary）……