但，什么叫可计算？为什么图灵会探讨这个问题？实际上，上述关于图灵论文与图灵机的介绍，更明确的说法应是：图灵在 1936 年发布的论文中，对于“哥德尔不完备定理”重新做了论述。相较于哥德尔在证明其不完备定理时、采用的通用算术形式系统，图灵使用了叫做“图灵机”的简单装置作为代替。

咦，我们这边又多提到一个人了？！哥德尔……？

哥德尔不完备定理

哥德尔 （Gödel） 被誉为自亚里士多德以来、历史上最伟大的逻辑学家之一。毫不夸张地说，正是哥德尔使数理逻辑与哲学界发生了极大的革命。

爱因斯坦曾说：我之所以还到研究院来，只是为了与哥德尔一起走路回家。

1931 年，19 岁的图灵进入剑桥大学就读；但这一年，同时成了撼动数学界的里程碑——奥地利数学家哥德尔提出不完备定理，证明不存在既完备又一致的数学体系，粉碎了无数位数学家追求圣杯的野心。

人类总是渴求着确定的知识，也称为真理——借由纯数理论与逻辑证明，数学家不断寻找著真理的可确定性。

哥德尔当年的发现，简单来说是：“并非所有为真者，皆可循一逻辑演绎过程而得知”。再更直白点就是：“真理的范围、比我们所能证明的范围还大。”

数学家乃借由公理（不证自明、理所当然为真的命题）进行一连串的推理、最后得出数学定理；基本上是活在一个以逻辑演绎为本质的世界。今天突然有人成功证明了：有些数学命题，我们既没办法证明它为真，也没办法证明它为假……，可想而知，这对于数学界无非是一项沈重的打击！

五年后的图灵之所以提出图灵机计算模型，即是以计算机的形式重新演绎了哥德尔的不完备定理，j2直播，同时补充了判定问题－－是否存在一个程式，能判断：我们任意输入的一个程式，是否能在有限的时间内结束步骤？或者会陷入无穷回圈？（当我们对电脑下两个指令：【往左后往右】与【往右后往左】，电脑就会陷入无穷的回圈）

哥德尔的发现，引起了当时重要数学家如希尔伯特与冯．纽曼（还记得这个人吗? 这位计算机之父早年是希尔伯特的助手）等人的重视。到后来不但启发了后续众多数学家、哲学家：若无法使用逻辑演绎完全了解宇宙，该何以为继？更激起图灵创造出了电脑科学在理论上的滥觞。

但是，为什么哥德尔会探讨这样的问题呢？因为有人下了战帖！

谁？就是上上句我们提到的大数学家希尔伯特！

希尔伯特的23个问题

希尔伯特 （David Hilbert） 是二十世纪初期德国最伟大的数学家之一。

在世纪之交的 1900 年、一场巴黎国际数学家大会的演讲当中，希尔伯特根据 19 世纪的研究成果和发展趋势，以卓越的洞察力提出了 23 个当时尚未被解开的困难数学问题，并鼓舞年轻数学家积极攻克：

“ 在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”（希尔伯特大大按曰：只要解出来就能名留青史噢）

这就是著名的希尔伯特的 23 个问题。

希尔伯特的 23 个问题对 20 世纪的数学研究起了积极的作用，不但超乎希尔伯特的预期，更未曾预料到从其中衍生而出的电脑科学、将会对世界产生无比重大的影响。

而哥德尔之所以提出不完备定理，想解答的正是这 23 个问题中的第二个问题：算术公理系统的无矛盾性。简单来说，希尔伯特希望能以一个完美的形式系统，成功证明所有的真理、同时找出所有矛盾的陈述。

在这个问题上，希尔伯特原先坚定地表示：“ 没有人能将我们逐出康托尔的乐园。”不仅仅是第二个问题，希尔伯特在 23 个问题中所提出（显然最在意）的第一个问题连续统假设，也是康托尔的研究中所面临问题。

康托尔……？请放心，这会是本篇文章中所出现的最后一位人名了。

无限多的危机：康托尔集合论

到目前为止，我们已经使用了许多强烈的形容词，包括：电脑科学之父、伟大的逻辑学家、数学家……但在这些学者的研究基础上，我们不能不提现代数学的奠基者——集合论之父康托尔 （Cantor） 。

令集合 A = {1, 2, 3, 4, 5 }，B = {1, 3, 5, 7, 9}

则 1, 3, 5 同时为集合 A 和 B 的元素，且 A 集合和 B 集合的大小相等。