“从点到线，由线到面”，是我们认识和解决复杂问题常用的指导原则。在计算机图形学和三维造型中，这一思想也在字面意义上得以践行：为了构造复杂的三维物体，有一类通用方法，称作绘制界面与造型（Sketch-based interface and modeling），被图形学研究者提出并发展了几十年。

简而言之，用户只需要绘制简单、粗糙的线框草图，计算机便能从草图出发构造符合用户期望的完整三维形状。绘制造型技术是图形学的重要研究领域，主要原因是只需要输入一个简单、直观的草图便可产生复杂而准确的空间形状。

因此该项技术常常被产品设计者、三维艺术家等广泛使用，以快速地将他们对于产品、虚拟场景的构思转化为可以进一步丰富和细化的三维原型。随着该技术的发展，研究者们更加关注如何让未经专业训练的人释放创造力，轻松地构造复杂模型，为更丰富的混合现实应用提供个性化的内容。本文接下来将要讲述的，是我们在促进绘制造型技术表达力和易用性方面取得的进展。

在本文中，我们首先会介绍如何从空间曲线框出发，生长出符合线框形状、满足直观期望的三维曲面，这方面的研究推进了如何构造准确而复杂的空间形状的算法演进；然后我们会介绍如何直接从绘制的平面草图获得符合想象的空间自由形状，这既扩充了用户输入的自由度，又丰富了可构造的形状。这两个问题都涉及到如何产生准确且符合期望的曲面形状，而我们是通过应用经典微分几何知识、开发相应几何处理算法达成这一目标的。

事实上，用户绘制的形状草图中，很多线都是所刻划形状的具有代表性的流线，数学上称之为该形状的主曲率线。如何从这些粗糙近似的主曲率线中恢复曲面，便是我们要解决的核心问题。该核心问题的求解，属于几何处理技术和优化方法的典型应用，atv，因此通过该问题，我们也得以一窥近年来几何处理方向所取得的一些基础的技术进步。

用对齐流线的曲面填充空间曲线框

图1 咖啡机：空间曲线框和对应的填充后的三维形状

三维线框的产生比较困难，现有技术主要包括使用多视图、构建辅助线、针对规则物体优化等方法。为了简化问题，假定我们已经获得了三维空间中的线框（如图1左）。需要将线框填充上合适的曲面，才能构成完整的三维模型（如图1右）。

能够插值线框的三维曲面有无数个，但其中一些形状要更加合理、更符合我们观察曲线时持有的期望。如何将这种期望进行量化？艺术家和设计师往往根据经验，使用有代表性的流线来简洁地刻画一个三维形状。因此，我们需要的曲面所具有的流线应当和给定空间线框一致。从这一目标出发，我们构造了通过对齐给定流线来寻找期望曲面的算法。

我们采用变分方法，定义一个可变的曲面，该曲面插值给定线框，目标则是曲面自身的曲率方向应该和给定流线对齐。为了解决这个困难的非线性问题，我们反过来根据流线建模目标的曲率方向场，以之引导曲面变形，使它的曲率方向更好地匹配该目标方向场（算法流程见图2）。得益于近十年来几何处理方向的扎实进展，构造目标曲率场和曲面变形都更加可靠且高效。因此，对齐流线算法可以在7秒钟内构造出如图1右所示的三维曲面。

图2 构造对齐流线的曲面的过程

从左至右：初始的曲面、初始曲面上构造的目标曲率方向场、变形后的曲面、和变形后曲面的曲率场 。可以看到，最终曲面的曲率方向光滑地对齐于空间线框。

构造目标曲率场使用了一项一般性技术，即曲面上光滑四方向场的构造。所谓四方向场，即在曲面上每个点处定义一个十字形标架，指明在该点处前后左右的方向。因为曲面非零的高斯曲率，在每一点处定义这样的十字形标架明显比平面上的统一坐标系困难。几何处理的技术是采用黎曼几何的思想，在每个点的局部将曲面展平，建立该点与邻接点之间的连接变换，得以衡量两点间标架的一致性。然后把所有这样的邻接点对的标架差异极小化，就得到了曲面上的光滑四方向场。

现在的常用算法通过迭代求解线性方程组，可以在约0.4秒内计算出曲面上2万个点的光滑标架。曲面上构造的方向场有广泛用处，比如早期用于产生曲面上的流线以展示曲面形状的特征（恰好是我们所要求解问题的反面），在空间曲面上铺平纹理图片，产生曲面上规则的四边形网格，到最新用于三维几何重建等。由此可见，在弯曲的空间上获得方向的指示有着重要意义。