编按：从提出以来，高斯相关性不等式历经数十年光景，连结机率、计和几何学三大领域，困扰众多专家，最后竟是退休的统计学家在厕所想到解法。但这不代表世人都知道他的发现和成果，最后峰回路转，报导出现后消息扩散，atv，才让大家知道他的成就。

　　2014 年夏天的某一个清晨，阳光如往常一样穿透白色窗帘照了进来，罗炎起身前往浴室盥洗，j2直播，一边刷着牙一边回想昨晚入睡前那个证明。突然间，一道灵光射进了罗炎的脑袋，困扰数十年的高斯相关性猜想（Gaussian Correlation Inequality Conjecture）终于攻破了大门！

　　连结机率、统计与几何的猜想

　　高斯相关性不等式（GCI）有许多不同的版本，其中最著名的是 1972 年连结机率、统计以及几何三大领域的版本：

　　想像一个射飞镖游戏，以正中红心为目标射许多次，飞镖落点会以红心为中心呈现类似钟形的高斯分布（或者称常态分布），如果以红心为中心点同时画一个圆和一个方形，高斯相关性不等式即是说飞镖落在圆和方形交集的机率会大于或等于落在圆形的机率乘以落在方形的机率。

　　P（圆 ∩ 方）≥ P（圆）× P（方）

　　这里不同于下面这种大家比较熟知的独立事件机率，若 A 跟 B 是统计独立的两事件，则我们会有这个等式：

　　P（A∩B）= P（A）× P（B）

　　直观来说，由于圆形和方形有重叠部分区域，射中其中一个的情况下，同时也射中另一个的机率会因此提高。

　　事实上，GCI 猜测是针对任意维度 d 都成立，且两个同中心的形状只要是具有对称性的凸集（symmetrical convex set）即可。

　　（Source：pixabay）

　　GCI 猜想的原始型态是统计学中关于信赖区间的估算，由美国统计学家奥利佛·丹（Olive Dunn）在 1959 年首次提出。

　　想像我们要针对一群人（已知平均身高是 170 公分，平均体重是 65 公斤），给出一个身高和体重的范围，使身高体重同时落在此范围内的人数占全部的 90% 以上。 这任务可不太容易，因为人的身高和体重是彼此相关，并非独立的。假设身高和体重分别都呈现高斯分布（常态分布）的情况下，依据［68-95-99.7 法则］我们知道：

　　P（平均加减两个标准差）≥ 95% 。

　　也就是说，如果身高和体重标准差分别是 7 和 8，我们会知道：

P（身高介于 156 到 184 的人数）≥ 95%

P（体重介于 49 到 81 的人数）≥ 95%

　　再由高斯相关性不等式可以推得，

　　P（身高介于 156 到 184 公分且体重介于 49 到 81 公斤的人数）≥0.95 × 0.95 = 0.9025

　　维度 d=2 的情况早在 1977 年就被维吉尼亚大学的罗伦·彼特（Loren Pitt）教授证明出来。受访时，罗伦缓缓地闭起眼睛，说起 1973 年某次和同事吃午餐时听到这道“简单”的数学问题时的回忆：

　　“嘿～罗伦，你知道有个有趣的数学问题 GCI 吗？就是想像一个射飞镖游戏，然后……”

　　“听起来满有意思的，老墨～不过，你说这个还没有人解出来？！”语气显得有点疑惑。

　　“嗯！还没有。”

　　“不太可能吧！ 看起来不太难啊，应该很快就可以知道答案了。”我心里当时这么想。

　　“于是，我把自己关进一间房间，打算当我再次走出房门时就已经证明 GCI 是正确的或错了。”

　　说到这里，罗伦张开眼睛望向窗外不发一语。一转眼已经过了将近 4、50 年……

　　关于汤玛斯·罗炎

　　故事回到解开谜底的汤玛斯·罗炎（Thomas Royen）身上，今年已经 70 岁的他是德国一位退休统计学家，在这次事件之前可能没什么人听过他，这点倒是和前几年华裔数学家张益唐有点像，某天突然灵光一现洞悉真理的故事在数学界也不算少数，不过这次倒是有几点值得特别一提的趣事。

　　要解决一道难题不妨先把它变得更难

　　首先，数学界有件事情是外界难以想像的。“经常发生一种情况是，解决一道看起来很困难不会解的问题的方法是，把这个问题推广成一个更难的问题，然后解决它。”

　　听起来有点荒谬，打个比方，就好像是一个屡次练习连 10K 都跑不完的跑者，居然去挑战极地超马，想借此证明自己可以跑完 10K。罗炎的证明就是走这个套路，把猜想中高斯分布这个条件推广到更复杂更一般的情况。神奇的是，问题居然就这样解了，证明还只用了 3 页！（不过，有人觉得罗炎的版本太神了，可能不太好体会其奥妙之处，因此写了个简易 GCI 版的。）

　　差点沉没的宝石