维格纳

　　也许这里还有一些尚待发掘的奥秘。——普尔斯（Charles S. Peirce）

　　有一个故事是关于两位昔日高中同窗聊起彼此的工作。其中一人成了统计学家，正专研人口趋势。他把一篇论文拿给老同学看，这篇论文按惯例从高斯分布开始说起，统计学家向老同学解释用于实际人口数、平均人口数等等的符号意涵。老同学显得有些迟疑，不太确定这位统计学家是否在唬弄他。他问说：「你怎么知道是那样？那这边这个符号是什么？」 。统计学家说：「噢，这是π。」「π是什么？」「圆的周长对直径的比率。」老同学说：「哇，你玩笑开得太过头了，人口怎么会跟圆周长有关系！」

　　我们很自然的会莞尔于这位老同学思路的单纯。然而我必须承认，当听到这个故事时，我心中油然生起异样之感，因为故事中这位同学的反应，流露的不过是直白的常理。但更让我纳闷的是，后来没过多久有人找我讨论一个疑惑（注：此人是当时就读于普林斯顿的维纳（F. Werner）），亦即当我们测试理论时，只选用了很小范围的数据。他说：「如果我们建构理论时，根据的是现在忽略的现象，并且忽略一些现在关注的现象，我们怎么知道会不会建构出与现在理论大相迳庭、但对现象却有同等解释效力的另一理论？」 的确要承认，我们没有明确的证据判定不会有这样的理论。

　　以上两个故事呈显了两个重点，亦即这篇论文的主题。首先，数学概念在全然意料外的脉络中出现，而且通常很出乎意料的，能够缜密且精确的描述这方面的现象。其次，正因为这种状况，也因为我们不理解数学如此有用的个中缘由，我们无法知道一个用数学概念表述的理论是否唯一合适的理论。我们的状况就像是手里握着一串钥匙、需要连续打开数道门的人，当他总是试一、两次就找对钥匙，不免开始怀疑钥匙与门锁之间是否有唯一的对应关系。

　　以下要说的大部分并无新意，大多数科学家可能都曾以某种方式想到过。我的主要目的是从几个面向去阐明。第一，数学在自然科学中巨大的有用性几近神秘，找不出合理解释；第二，正是数学概念如此不可思议的有用性，促使我们注意物理理论唯一性的问题。为了建立第一个论点，亦即数学在物理学中扮演了异常重要的角色，我们有必要先谈谈「什么是数学？」接著再谈谈「什么是物理学？」然后再谈谈数学如何跨入物理理论，最后则是，数学在物理学中角色的成功为何如此令人费解。关于第二点，物理理论的唯一性，在此将不多着墨。要想对这问题给出适切的答案，还需要进行周密的实验性与理论性研究，而这类研究目前还未展开。

　　数学是什么？

　　曾有人说哲学是为了要滥用而发明的术语（注：引自杜比斯列夫（W. Dubislav）之《当代数学哲学》（Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart）（1932））。沿此脉络，我会说数学是为了有技巧的运用概念与规则而发明的科学；主要强调的是概念的发明。如果数学定理都必须出自公理中已出现的概念，那么有趣的数学定理很快就会告罄。再者，虽说初等数学，尤其是初等几何的建构，无疑是为了要描述真实世界的对象，但是更高等的数学概念则未必如此，尤其是那些在物理学中扮演重要角色的数学概念。准此，整数对的运算规则，显然是被设计成与分数运算的结果相同，即使我们初学分数时并未提到「数对」 。用于数列的运算规则则对应到无理数，这个运算仍然隶属于重现已知的数量运算规则的范畴。然而大部分更高深的数学概念，诸如复数、代数、线性算子、伯瑞尔集合（Borel sets）——类似例子是无穷无尽的——则是数学家设想出来，以做为展现其巧思与形式美感的主题。事实上，数学家定义这些概念时，即已知道可对其运用有趣且精妙的构思，这正是数学家深具巧思的首要明证。创造数学概念所需的思考深度，则可展现在日后运用这些概念之技巧需求。伟大的数学家堪堪走在容许的界限上，在可行的范围内充分且近乎果决的尽情驰骋。然而这样奔放的思路并未让他们陷入矛盾的困境，光这件事本身就是奇迹。我们很难相信单凭达尔文的天择过程，人类的推理能力即可演化到如此完美的程度。然而，这并不是我们目前要谈的主题。在此强调，而且后面还要重温的重点是，直播，数学家若未定义公理之外的概念，则他仅能建立起寥寥可数的有趣定理；而数学家之所以定义这些公理之外的概念，则是着眼于能对它们运用巧妙的逻辑运算，使得运算本身以及由此可得的普遍性与简洁性，都可满足我们的美感（注：博兰尼在其《 个人知识》（ Personal Knowledge）（1958）中曾说：「所有的这些困难不过是由于我们拒绝去明白，若不承认数学最明显的特徵即它很有趣，则数学便无法定义。」（ 188页））。