在过去的数十年中，人们在各种复杂系统中发现了花样繁多的幂律，或称临界现象。在这背后隐藏的是系统的无标度性或自相似性。同样的道理，这种无标度性也展现在量子纠缠系统之中。从关系的角度说，这种临界性就意味着长程关联，即所谓的牵一发而动全身。于是，传统的数学物理工具通常无法直接应用到这类体系中，因为它们大多都是局域化的。重整化几乎是目前唯一一种能够分析这类无标度系统的有效方法，它牢牢抓住了系统在尺度变化下的不变性，从而总结出规律。然而做重整化操作存在着太多的特殊技巧。

　　通过本文所讲的边界－体对偶变换，我们就能将处于临界的系统映射到一个具有负曲率的更高维度的空间中，这样那些长程联系就全部变成了局域联系。而我们的代价则是多出了一个维度，这个维度正是标度。这样，沿着双曲空间的径向轴，也就是标度，系统被一层一层展开，所有的复杂耦合都变成了双曲空间中的局部联系——这便是我们熟悉的重整化操作。更重要的是，我们熟悉的那些基于局域联系的分析手段又可以有用武之地了。也就是说，在双曲空间中，人们获得了全新的视角。

　　无论是量子物理还是复杂网络，我们看到了由关系、标度、自相似、双曲几何相互交织的大网。也许这是一种能够统领宏观与微观的统一理论，这是一种面向关系的物理学。

　　后记

　　本篇文章的灵感来源于凯风基金会赞助集智俱乐部于2016年10月初举办的“网络、几何与机器学习”研读营活动。在这次活动中，尤亦庄、张潘、吴令飞等年轻学者围绕着复杂网络、统计物理、量子物理、机器学习、计算社会科学等多个主题展开了密集式的讨论。本篇文章是笔者针对研读营活动内容所思所想的一个感悟，后经文小刚老师的点拨撰写成文。由于文中很多观点对于笔者来说都是初次接触，故而如果文中有错误或不当之处，还请各位读者海涵。

　　作者简介

　　张江：北京师范大学系统科学学院副教授，集智俱乐部创始人。2006年获北京交通大学经济与管理学专业博士学位，2006-2008年在中科院数学与系统科学研究院的复杂系统研究中心从事博士后研究工作。自2008年6月进入北京师范大学学院工作以来，共发表SCI论文十余篇，译著1本，编著2本。主要关注领域：复杂系统中的流网络、异速生长、人工智能、机器学习等。长期积极参与国际学术交流活动，曾先后访问过美国密西根大学（Michigan University）、佛蒙特大学（University of Vermont）、圣塔菲研究所（Santa Fe Institute）、瑞士弗雷堡大学（University of Fribourg）等地。

　　阅读材料

　　[1] 关于复杂网络的基础知识，可以参考Mark Newman的经典教材：Mark Newman, "Networks: An Introduction", OUP Oxford, 2010

　　[2] 关于双曲几何的入门介绍，可以参看：Francis Bonahon, "Low-dimensional geometry - From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots", American Mathematical Society, 1995

　　[3] 复杂网络的双曲生长模型（原载于Nature）：Papadopoulos F, Kitsak M, Serrano M Á, et al. Popularity versus similarity in growing networks [J]. Nature, 2012, 489(7417): 537-540.

　　[4] 双曲空间中的随机几何图模型（将双曲几何引入复杂网络研究的最早论文）：Krioukov, D. (2010). Hyperbolic geometry of complex networks. Physical Review E 82: 036106.

　　[5] 关于复杂网络与双曲空间（集智的百科介绍）：%E5%A4%8D%E6%9D%82%E7%BD%91%E7%BB%9C%E7%9A%84%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A8%A1%E5%9E%8B

　　[6] 2016年11月《科学美国人》发表的科普文章：Juan Maldacena, “Black Holes and Wormholes and the Secrets of Quantum Spacetime”, Scientific American 315, 26 - 31 (2016)

　　[7] 关于量子信息与量子纠缠（尤亦庄在集智百科上面的介绍）：%E7%A0%94%E8%AF%BB%E8%90%A5%E4%B9%8B%E5%BC%A0%E9%87%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C