可以想象，这种扭曲其实很有道理。因为城市中心通常非常拥挤，它们消耗了大量的通勤时间；而另一方面，中心城区通常是各类新闻、各类新鲜事儿的发源地，它们理应在我们的头脑中占据更大的空间。

　　看着图6右图中被扭曲了的大伦敦区域，我们不禁想起了著名画家埃舍尔的作品，如图7所示：

　　图7. 著名荷兰版画家埃舍尔的作品，用等大小的鱼填充的整个双曲空间的庞加莱圆盘模型

　　这是一个无限的双曲空间（曲率为负常数的非欧空间），但是通过庞加莱圆盘（Poincare disk）表示方法，开奖，这个无限的空间被压缩到了一个有限的圆盘上。图中所有的鱼都是全等的，但是，由于双曲空间存在着扭曲变形，这就使得中心区域的鱼显得更大一些，四周的鱼显得非常小，以至于在边界处，有限的圆挤下了无穷多条鱼，这些鱼的表观面积是无穷小。

　　这启发我们得到以下的猜想，既然城市的等人口密度图可以展现得好像一个双曲庞加莱圆盘，那么有没有可能我们的社会网络本身也是生长在这种双曲空间中的一种网络呢？

　　还真有人这么想。俄罗斯裔的美籍数学家克里奥科夫（Dmitri Krioukov）和希腊科学家啪啪多普洛斯（Fragkiskos Papadopoulos）长时间合作研究复杂网络的双曲几何模型。终于，2012年，他们在Nature发表了一篇题为《生长网络中的流行性及其相似性》（“Popularity versus similarity in growing networks”）的长文，构造了一个双曲几何空间中的生长网络模型。该模型不仅复现出来了小世界、高聚集性、无标度等性质，而且还能涵盖几乎所有重要的网络模型。

　　让我们还是用城市来做比喻。假设有一个双曲几何空间中的人类城市。在初始时刻，城市中仅有一个居民，他（她）就居住在城市的正中央（1号节点所在的位置，庞加莱圆盘的正中心）。然后，新的居民开始一个个地进入城市。假设先来的人靠近市中心，而后到的市民则只能不断地往外围扩张。每个节点都有一个极坐标 (rt ,θt)，模型规定第 t 个人到市中心的距离 rt 是 ln? t，并且角度 θt则是从 0 到 2π 区间随机选择一个。每新加入一个节点，就会带来 m 个新连边（其中 m 是一个参数，比如 3）。那么这 m 个新连边应该跟谁连呢？答案是所有的双曲空间中离这个新来的节点最近的 m 个点。

图8. 双曲空间下的生长网络

　　如图8所示，红色的区域就是以新加入的节点20为中心的双曲圆。我们看到这个双曲圆（红色区域）并不是一个对称的图形，而是好像舌头一样从边缘伸向了中心。这恰恰是双曲几何的典型特征。要想成为新节点 20 的邻居，老节点要么位居靠近城市中心的位置，要么就是在与新节点差不多的角度方向上。

　　事实上，啪啪多普洛斯将每个点 N 到中心节点的长度解释为该节点的流行性，如果 ln N越小，则该节点越流行。反过来，作者将每个节点所在的角度解释为节点的相似性指标，如果两个节点的角度越靠近则它们彼此之间就会越相似。所以，要想竞争到新的链接，那么老节点要么非常流行，要么与新节点足够相似。在双曲几何中这就体现为让老节点到新节点的双曲距离最小化。

　　可以验证该网络具有小世界效应。事实上，那些连通到流行度比较高的连边恰恰可以降低网络整体的平均路径长度。而由于整个网络都是按照双曲空间近邻的方式建立，双曲空间又是一个度规空间，其上的三角形必然满足三角不等式。这样，如果 A 和 B 是邻居，B 和 C 也是邻居，那么根据三角不等式，两边之和大于第三边，也就意味着 A 和 C 的距离要小于 AB+BC，所以 A 和 C 也就会有较大的概率发生连接。于是，网络的集聚性也会很强。其实，只要一个网络被嵌入到一个具有度规（定义了距离）的空间中，三角不等式就都可以成立，也就意味着集聚性会很高。

　　无标度网络与双曲空间

　　更重要的是，双曲几何自然蕴含着无标度网络。事实上，早在2010年，克里奥科夫和啪啪多普洛斯就发现，基于双曲空间的局域连接结构就天然是无标度的。比如我们在双曲空间中随机地洒下很多点，两个点之间的双曲距离如果小于某一个常数就连接一条边，那么生成的网络就是无标度网络。