现在，让我们绕道进入弦论。听说过哪怕一点点弦论的人都知道，弦论假定，粒子物理中世界线沿时空方向传播的点状粒子都是弦形成的微小的圈。在弦论的框架里，点状粒子的世界线变成了闭弦的世界面（如图6所示）。

　　图6. 点状粒子传播的图形表示（在费曼图中的一个顶点分裂开来），在弦论中被“增厚”成弦的传播和分裂。

　　弦的张力非常巨大，达到了普朗克尺度（10的19次方GeV量级），是粒子物理中能讨论的最高能量尺度。这导致了在弦上传播的波（弦的“激发态”）有非常大的激发能（译者注：对应的波动激发质量非常大），而通常的粒子则可以看成（稍微扰动过的）零能量激发。然而，和粒子物理理论中一样，弦论中最基本的一个问题同样是：对一个给定的质量，到底存在多少种粒子？

　　大二物理专业的学生会在统计力学的课程中学到如何计算配分函数（partition function），它度量了在给定的能量下物理态的数目：

　　其中，n遍历所有的物理态，是温度的倒数，（为玻尔兹曼常数）。

　　费曼路径积分是理解配分函数的好办法。我们可以把配分函数Z看成粒子在周期性的虚时间（periodic imaginary time）下，以为虚时运动周期的路径积分

。

　　其中不寻常的负号来源于到虚时的延拓（continuation）。虚时的周期性，也即粒子的初态和末态相同，实际上相当于对粒子所有允许的态求迹（trace），从而得到配分函数。

　　我们可以设想以类似的方式来计算弦论的配分函数。虚时路径积分需要换成如下的路径积分，在每个虚时时刻空间中都有一个由弦形成的圆。然后，满足周期边界的圆圈可以当作一个环面。环面参数替代了配分函数Z中的，于是配分函数可写作

　　其中我们定义了，以强调其与通常统计力学的相似性，对应该弦论中在能量处态的数目（能量均用弦张力的平方根，即弦的能标作为能量单位）。

　　由此我们可以引申出一个更重要的结论：根据前面的分析，相同的环面可以对应到不同的参数，它们之间由和变换互相关联。因此，定义良好的弦配分函数必须满足

　　也就是说，在给定能量下弦的物理态数目的函数是模函数。

　　1984年，Frenkel、Lepowski和Meurman极富洞察力地意识到，有一个非常简单的弦论，其配分函数正好是Klein 函数。回想一下，McKay的魔群猜想正是受到了函数级数展开的启发。现在，这个弦论描述了存在于26维时空，最为简单的玻色弦在24维环面上的紧致化。直接推广之前用在二维环面的办法，维的环面也可以用维点阵来描述。与我们当前目的密切相关的不是任意环面，而是一个基于Leech点阵的环面。

　　Leech点阵是个非常奇妙的数学对象，但是出于一个完全不同的原因：它给出了24维空间中单位球堆积问题的最优解（图7）。通俗地说，如果想在一个24维的堆满橙子的杂货铺里堆尽可能多的橙子，那么按照Leech点阵的格点来堆是最理想的方式。Frenkel、Lepowski和Meurman的工作表明，当弦在Leech点阵（更严格地说，是Leech点阵一个简单的商空间）上传播时，弦的配分函数作为能量的函数正好是Klein 函数

。

　　图7. 一个艺术家所描绘的球堆积。基于Leech点阵的堆积是24维空间中最致密的堆积方式。

　　他们的洞察力还不止于此。Leech点阵跟散在单群之间的密切联系早已建立——事实上，John Conway正是在揭示这个点阵对称性的结构之时获得了启发，发现了以他命名的单群。Frenkel、Lepowski和Meurman注意到，他们考虑的弦论不仅继承了Conway群的对称性，实际上还超越了Conway群，魔群M在这个弦论之中有（虽然微妙，但是可以明确定义的）对称作用。