魔群月光，这一神秘而富有诗意的名字，指的是现代数学中一个著名的猜想（现在已经是定理）。魔群，最大的散在单群，和数论中的模函数，这两个看起来风马牛不相及的对象通过这一猜想紧密地联系了起来。这样两个十分“遥远”的数学领域之间的桥梁本身已经足够神奇，但更令人不可思议的是，理解这座桥梁的线索来自于理论物理——弦论起到了关键性的作用。本文就将介绍当代数学和物理中这一美丽的篇章。

　　作者 Shamit Kachru（斯坦福大学教授）

　　翻译 程蒙（耶鲁大学）、涂鸿浩（慕尼黑大学）

　　我有个一直藏在心里的愿望，一个没有任何事实和证据支持的愿望：在二十一世纪的某个时候，物理学家们偶然发现，魔群以出人意料的方式呈现在宇宙的结构中。

——弗里曼·戴森（Freeman Dyson），1981年

　　一、引言

　　自从1984年以来，弦论在理论物理学中扮演了主要的角色，原因是在其发展初期的短短几个月内，弦论就被认为有可能在这一个理论框架中，既包含又推广爱因斯坦广义相对论和粒子物理标准模型（及其“大统一”推广）。

　　尽管弦论和可观测的物理现象之间的具体联系，还仅停留在理论的期望中，然而数十年来以弦论来构建的理论大厦，和其他许多物理学分支的交流依然成果丰硕，其中涉及的领域有粒子物理、引力物理、宇宙学、凝聚态物理和核物理。或许最让人吃惊的是，弦论对现代数学的发展也发挥了重要的影响，如微分几何、代数几何、纽结理论、表示论和数论中的一些美妙的发展，都受到了理论物理研究的推动，反之亦然。

　　本文将集中讲述这样一个故事：“魔群月光”（Monstrous moonshine），以及它的后代们“新月”（new moonshines），是如何衍生出一个极其丰富，却依然盖着神秘面纱有待进一步探索的领域的。

　　“月光”统一了数学的几个迥然不同的领域，其原本的形式揭示了魔群和Klein 函数的深刻联系。前者是对称性基本单元里最激动人心和神秘的一份子，而后者在截然不同的另一数学分支（数论和模形式理论）中扮演了关键性的角色。

　　然而，为何在七十年代由研究群表示论的理论家们发现的结构，会与一个在十九世纪末期出于完全不同目的而研究的函数产生任何联系呢？

　　以下，我们要逐一介绍这些故事中的英雄们，然后揭开其中出人意料的关联：它们都对理解弦论的一个特殊解起到了重要的作用。在达到这一步的过程中，我们会领略现代数学和物理中几个绝妙的发展，它们将对称性、数论和统计力学中的想法统一起来。本文的末尾将介绍月光猜想的最新篇章，它会引导我们进入理论物理和数学中引人入胜的未知疆域。

　　二、对称性的基本单元

　　对称性在我们感知和分析周遭世界的方式中有着举足轻重的地位。在通常的观念里，美的标准概念，往往体现为对称性，从人体的左右对称，到古代和现代艺术中显而易见的优美对称性（图1）。

图1. M.C.Escher的画，深受中世纪出现在Alhambra的伊斯兰艺术的影响。

　　在物理学中，对称性可以用来限制物理定律可能采取的形式。举一个简单的例子，我们相信在地球上任何一个实验室所观察到的物理定律都应该有同样的形式。换句话说，当我们把实验设备从加州的Palo Alto, 通过平移或者转动，搬到日内瓦的欧洲核子研究中心（CERN），或者北京，基本的自然规律应该不会有任何变化。这一事实在爱因斯坦的狭义相对论中被进一步提炼成为另一条基本原理：物理定律在洛伦兹变换（Lorentz transformations）下保持不变，这里洛伦兹变换就涉及到实验室之间的相对运动。

　　在凝聚态物理领域，类似于正多面体所具有的简单几何对称性起到了很重要的作用。举固体的分类作为例子，开奖，了解原子排列方式的晶体对称性有助于我们推断材料的某些物理特性。很自然地你会问：我们有没有可能对所有相关的对称性加以分类？对于晶体，其对称性分类在很多年以前就已经完成了，现在已是固体物理教科书中的经典内容。图2是一个常见的对称点阵。

　　图2. 三角点阵，一种二维平面材料中经常出现的点阵。