然而，数的概念的最大的变化来自哈密顿1943年发现一个全新的数系以后。哈密顿注意到，用复数（而不是简单地用一对实数）来将平面坐标化，会大大地简化平面几何。他就开始来找一个类似的途径来把三维空间坐标化。这件事后来证明是不可能的，但是把哈密顿引导到一个四维的系统，他称之为四元数。这些四元数的性态很像是数，但有一个关键性的区别：乘法不是可交换的，就是说，若q和q’是两个四元数，则qq’和q'q一般是不相同的。

　　四元数是第一个“超复数”系，而它的出现带来了许多新问题。还有其他的这种数系吗？什么才算是数系？如果说某些“数”不能满足交换律，那么能不能造出破坏其他规则的数来？

　　从长期来看，这种智慧上的发酵引导数学家慢慢地放松了“数”或“量”这些模糊的概念，而紧紧抓住代数结构这个比较形式的概念。到头来，每一个数系无非就是一个可以在其上进行运算的实体的集合。使我们感兴趣的是，它们可以用来把我们关心的系统参数化，或者说坐标化。完整的数（现在可以使用它的来自拉丁文的形式化的名字：整数）可以用来把计数概念形式化，而实数可用来把直线参数化，从而成为几何学的基础。

　　到了20世纪初叶，已经有许多著名的数系了。整数傲居首位，后面是逐步放大的层次：有理数（即分数）、实数（即斯特凡的十进制小数，但是已经仔细地形式化了）以及复数。比复数更一般的还有四元数。但是绝不是仅有这些数系。数论学家搞出了几个不同的代数数域，它们是复数的子集合，但是又可以看作自治的系统。伽罗瓦引进了一些有限的系统，它们服从算术的通常的规则，而现在就称之为有限域。函数论专家要和几个函数域打交道，他们肯定不认为这些是数，但是它们和数的类同已经被人们看到了并研究过。

　　20世纪初，亨泽尔（Kurt Hensel）引进了p进数，它是从有理数中赋予素数p以特殊的作用而得出的（因为p可以随意取，所以事实上亨泽尔创造了无穷多个新数系）。它们也“服从算术的通常的规则”，这句话是指加法和乘法的形式正如我们的预期。用现代语言来说，它们都是域。p进数是事物的第一个这样的系统，atv，它们被承认为数，但是又与实数和复数没有看得见的关系——只有一点除外，即它们都包含有理数。结果是它们引导斯坦尼兹（Ernst Steinitz，1871–1928，德国数学家）创造了域的一般理论。

　　出现在斯坦尼兹的工作里的、向着抽象化的运动在数学的其他部分也发生了，值得注意的是群及其表示的理论以及代数数理论。所有这些理论被艾米·诺特汇集成一个概念的整体，艾米·诺特的计划后来就称为“抽象代数”。这门学科把数完全抛到后面，而集中注意带有运算的集合的抽象结构。

　　今天，要决定什么样才算是一个“数”已经不太容易了。原来的序列“整数、分数、实数和复数”中的对象肯定要算是数，p进数也算是数。但是，另一方面，四元数极少有人把它们算是“数”，虽然它们也被用来把某些数学概念坐标化。事实上，还有更奇怪的系统，如凯莱的“八元数”也作为坐标而出现。说到底，什么可以用于把手头的问题坐标化，我们就把什么作为数。如果这样的数系还不存在，人们就会去发明它。

　　以上内容摘自《普林斯顿数学指南（全3卷）》第一卷的第Ⅱ部分——现代数学的起源。

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