由Timothy Gowers著,齐民友译的《普林斯顿数学指南(三卷本)》已在赛先生书店上架,价格优惠,全场免邮,点击文章底部“阅读原文”购买此书。 在上周的《数的起源——从计数到十进制》中,为大家介绍了数的演化,接下来,实数和虚数开始粉墨登场了……
人们需要的是数 当希腊文化被其他影响代替时,实用的传统就更加重要了。这一点可以从阿尔·花拉子米的另一本著名的书(“代数”一词就是从这本书的书名得来的)看出来。这本书实际上是许多不同类型的实用或半实用问题的概要。阿尔·花拉子米在书中开宗明义地宣布,我们不再是生活在希腊数学的世界里,“当我考虑人们在计算中需要的是什么时,我发现人们需要的是数”。 阿尔·花拉子米的书的第一部分是讨论二次方程,以及处理二次方程所需的代数计算(当然都是用文字来表述的,什么符号也没有用)。他的方法实际上就是现在还在使用的二次方程公式,当然其中就需要求平方根。但是,在每一个例子里,需要求平方根的数都是完全平方数,所以平方根很容易求——阿尔·花拉子米得到的确实是一个数! 然而,在这本书的其他地方,就可以看到阿尔·花拉子米已经开始把无理的平方根看成类似于数的实体。他教导读者怎样对含有平方根的符号进行操作,而且给出例如下面那样的例子:(20 - )+ (- 10) = 10(当然都是用文字来进行)。在书的处理几何和量度的第二部分,甚至可以看到对于平方根的近似:“乘积为一千八百七十五;取它的根,这是一个面积;它是四十三多一点。” 中世纪的伊斯兰数学家不仅受到以阿尔·花拉子米为代表的实用的传统的影响,也受到希腊传统的影响,特别是欧几里得的《几何原本》的影响。在他们的著作里,人们可以找到希腊的精确性和比较实用的量度方法的混合物。例如在奥马尔·哈亚姆(Omar Khayyam)的《代数》一书里,就既有希腊风格的定理,又有求数值解的愿望。对三次方程的讨论中,哈亚姆既努力用几何作图的方法来求解,又哀叹自己不能找到数值。 然而,“数”的领域已经在慢慢地扩大。希腊人可能还是坚持不是一个数,而只是一条线段的名称,即面积为10的正方形的一边,或者是一个比。在中世纪的数学家中,不论伊斯兰还是欧洲的数学家,的性态都越来越像一个数,它进入了运算,甚至出现在某些问题的解答里。
对所有的数都给以同等地位 把十进制系统推广到分数,这个思想是几位数学家互相独立地发现的,其中最有影响的要推斯特凡(Simon Stevin,1548-1620)。他是弗兰德斯的数学家和工程师。他在1585年出版的一本名为De Thiende(原书为弗莱芒语,后来译为英语,书名《十进算术》)的小书中,普及了这个推广了的十进制系统。他把十进制推广到十分位、百分位等等,就创立了现在仍在使用的十进制小数。更重要的是,他解释了这个系统如何用于简化涉及分数的计算,给出了许多实际应用。事实上,书的封面上就宣布此书是为了“占星学家、测绘人员和地毯的量度者之用”。 斯特凡肯定知道他的举动所引起的某些问题。例如他知道1/3的十进小数展开是无限的。他的讨论只是说,尽管完全的无限的展开是正确的,但是在实际应用时加以截断不会造成多大的影响。 斯特凡也知道他的系统给出了一个方法,对每一个长度都提供一个“数”(指十进小数展开式),他看不出1.176 470588 2与(前者是后者的小数展开式的前一部分)有什么区别,也看不出与1.414 213 562 3(后者是前者的小数展开式的前一部分)有什么区别。在《算术》一书(就是《十进算术》)中,他大胆地宣布,所有的(正)数都是平方数、立方数、四次方幂的数等等,所以都能开方,而且开方以后所有的根也都是数。他还说:“没有什么荒唐的数、没有道理的数、不正规的数、无法研究的数,或者无法听闻的数。这些称谓都是无理数的各种名称,而无理数就是非分数的数。 (责任编辑:本港台直播) |