在物理学中，当一个理论具有某个群的对称性时，物理态也必须组成该对称群的表示。于是，在给定的能量下，物理态对应的能谱也就很自然地可以分解成该对称群表示的维数。函数的傅里叶系数

　　则正好反映了上述一般规则，对应于有魔群对称性的物理体系。

　　上世纪九十年代初，理查·博切兹（Richard Borcherds）发展了从Frenkel-Lepowsky-Meurman的直觉一直到魔群月光猜想的最终证明所需的全部数学工具（为使得本文简单起见，这里我并不打算对证明本身进行更深入的讨论）。这个领域发展的高潮是魔群月光猜想的证明，博切兹也因其在模形式、无穷维代数以及魔群之间联系的杰出贡献而获得1998年菲尔兹奖。

　　五、新月

　　我们已经介绍了到2010年为止这一领域的状况。此时物理学家们的热情已经有些冷却，因为虽然月光涉及的对象和想法是如此深刻和令人惊异，但紧致化到二维空间的玻色弦的物理意义，atv，说得客气一点是值得商榷的。10维空间（而不是26维）中的超弦理论吸引了更多的注意力。超弦的很多特性在物理上和数学上都比玻色弦看起来更加美妙。（超）弦理论在接下去这些年间有很多进展，包括了像弦论对偶、全息原理，以及很多其它重要的思想，由于Leech格点在其中并没有起到重要的作用，理论物理学界在魔群月光这一领域没有太多的发展。

　　然后在2010年，江口徹（Tohru Eguchi）、大栗博司（Hirosi Ooguri）和立川祐二（Yuji Tachikawa）发表了一篇短文。他们在数字上的洞见强烈地提示了魔群月光的某个变种，极有可能出现在最常见的玩具模型之一——紧致化于K3曲面上的超弦——当中。关于这一模型，过去的数十年间弦论学家们已经发表了数以百计的论文。

　　K3曲面是弦论学家着力研究的一大类空间中最为简单，同时又不平凡的例子。研究这类空间的目的，是为了从10维时空出发构建更加贴近真实的物理模型。其中的想法大致如下：为了得到我们感兴趣的四维时空中的场论或者引力理论，可以把10维空间中的其它6个维度，在爱因斯坦场方程的某个保持部分超对称的解当中卷曲起来。场方程实现这一条件的真空解即是所谓的六维卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形。它们必须满足一些相当苛刻的几何条件。K3曲面正是这种流形在四维的表亲，并且在某些方面更为简单，但仍然是如假包换的卡拉比-丘流形。

　　正是因为K3复杂度适中——具有一部分卡拉比-丘流形在四维的紧致化所需要的特性，但不是全部——弦论学家投入了大量精力来理解K3上的紧致化。K3紧致化造出了一个六维的世界，其中有数种类似于真实宇宙中电磁力的相互作用；所以这个世界中的粒子可以携带一系列的电荷。江口、大栗和立川发现，假如我们不去计算弦论在K3上的配分函数，取而代之以一种更为粗略的（但仍然满足模条件），只计入带这些电荷的严格稳定态的计数函数，那么我们会再一次发现展开的系数和一个简单的散在群的表示之间有着极为深刻的联系。这次他们猜测的群是19世纪Mathieu发现的M24，阶数是244823040。

　　我们已经好几次提到了散在单群，也许看一看其中一个成员M24的构造会有些趣味。实际上，M24可以看成是保持某一种二进制码不变的群。更具体来说，首先定义如下集合G:

　　· G的成员是由24个比特（0或1）组成的序列。

　　· 两个序列的交叠定义为序列中比特一样的位置的数目。一个序列属于G当且仅当它和G中所有其它序列的交叠为偶数。

　　· 序列中1的数目必须是4的倍数，但不能是4。

　　M24是所有保持G不变的24个比特的排列（译者注：即对G中所有序列同时重新排列比特的顺序，得到的新的集合和G相同）形成的群。

　　Eguchi-Ooguri-Tachikawa的发现立刻掀起了一波研究热潮，一方面是要更深入地理解K3曲面、M24群和Eguchi-Ooguri-Tachikawa所描述的特定模形式之间联系的本质，另一方面则是要寻找其它的“新月光”。和魔群月光猜想的故事相比，这些新的对象——卡拉比-丘流形和 函数的近亲，所谓的“拟模形式”（mock modular form）——成为了故事的主角。完整地解释这些新发现中的物理和数学要等到以后对它们有更多理解的时候，那将会是我们下一篇文章的内容了。

　　进阶阅读