大概在1978年的时候，已经有人猜测了魔群的存在，但是完整的证明还没有找到。可以确定的是，假如这个群真的存在，它不能作为对称群以任何非平凡的方式在低维空间的对象上作用（当然，它可以“平庸”地作用在任何低维对象上，包括1）。实际上，计算结果表明魔群能够作用的对象至少得是196883维。更一般地来说，魔群最小的几个表示的维数——也即魔群能够有不可约化的作用的空间维数——是1，196883，21296876，……

　　三、 函数登场

　　约翰·麦凯（John McKay）是思考魔群的数学家中的一员。1978年的一个夜晚，他决定休息片刻。毫无疑问，思考这样维度数以万千（甚至更多）的对称群是项相当艰苦的工作。

　　就像我们许多人在放松消遣时所做的一样，他翻阅了一篇近期关于数论的论文。研读这篇论文的时候，他遇到了在数论中具有重要地位的Klein 函数，这一函数由如下的无穷级数展开表示（省略了常数项）：

　　此时他的思绪还没有完全跳离魔群，他立刻意识到

。

　　也就是说， 函数级数展开式中第一个不平凡的系数，竟然和魔群的第一个非平凡表示的维数惊人地接近！

　　随后，他和约翰·汤普森（John Thompson，菲尔兹奖得主，群论专家）意识到，这个“巧合”竟还延续到函数的高阶展开系数，例如

。

　　从这些对数字的朴素观察中，“魔群月光”领域诞生了，其目标正是揭开和解释最大的散在单群（sporadic simple symmetry groups）与模函数（modular functions）理论（研究函数及其“同类”）之间玄妙的联系。

　　让我们暂停片刻，先来了解一下模函数指的是什么。考虑一个复变量的函数，它在如下两种变量替换（下文中称它们为变换和变换）下函数值均不变：

　　即

　　定义，如果某个函数可以用和来展开（译者注：为的复共轭），那么很显然：在做类型的变量替换时，函数值不变。全纯函数（holomorphic functions）是只依赖于的函数（与无关）。如果一个全纯函数在上述和两种变换下均不变，那么就称为模函数。

　　对函数做和这两个变换看似怪异且缺乏动机，然而在了解如下背景后，我们会发现引入它们变得顺理成章：环面（亦可看做“甜甜圈”）可以用复平面上的二维点阵来定义（图4）。如果上半复平面中由或者相联系的点都被看作同一个点，那么我们就得到了一个“甜甜圈”，其形状仅由来决定（译者注：读者不妨想象将图4中平行四边形的对边两两粘起来）。

　　图4. 由矢量1和τ构成的点阵的基本域。将平行四边形的对边看作是相同的一边就得到环面。

　　然而，几何学告诉我们，不相同的值并不总是给出不等价的环面。如果两个环面所对应的可以由、两种变换以及它们的组合相联系，那么两个环面实际上是完全等价的，因为它们的形状一模一样。另一方面，调节可以改变环面的形状：同样大小的环面，看作一个甜甜圈的话，可以有相对“胖”或者“瘦”的环柄（图5）。

　　图5. 改变参数会改变环面的形状，使得两个圆圈的相对周长变化，但总的体积保持不变。

　　同样的、变换出现在环面和模函数两个看似不同的问题中绝非偶然。模函数正好是从所有可能的环面映射到复数的全纯函数，而函数是这类模函数中最简单的一个，它对的级数展开形式，提供了“魔群月光”令人啧啧称奇的第一个暗示。事实上，函数最重要的作用（也是它最初被引入的原因）是，对于一些定义了环面的多变量多项式方程，相对应的环面的很容易通过这些方程来计算。由于函数将不等价的一一映射到复数上，这就给出了一个分类/区分不等价环面的简单方法。

　　四、弦论与24维杂货铺