于是，斯特凡所提出的就是要把“量”或者“大小”的种种多样性都摆平，汇合成一个包罗所有的以十进制展开式来定义的数的概念。他知道，这些数可以用一条直线上的长度来表示，这就相当于现在相当清楚的称为正实数的概念。

　　斯特凡的建议由于对数的发明产生了大得多的影响。对数和正弦、余弦一样，是实际计算的工具。为了应用这些工具，就需要制表，而表就需要用十进制小数来表示。很快，人人都使用起了十进制表示。但是，到晚得多的时候人们才了解，这个举动是多么大的跃进。正实数不仅是构成大一点的数系，而且构成了大得不可比拟的数系，它的内部的复杂性至今还没有被完全理解（见集合理论）。

　　真的，假的，虚的

　　当斯特凡在写作时，以后的步骤也在进行：在方程式理论的压力下，负数和复数都变得有用了。

　　斯特凡本人就已经意识到负数，虽然很明显，他并不喜欢负数。例如他是这样来解释 -3 是方程 + x - 6 = 0 的根的，他说，这就是指的3是相关的方程 - x - 6 = 0 的根，后一个方程是在前一个方程中用 -x 代替 x 而得到的。

　　这自然是一个简单的逃遁之道，但是三次方程式就产生了更困难的问题。由于16世纪好几位意大利数学家的工作，得出了一个求解三次方程式的方法。关键的一步里包含了求一个平方根。问题在于需要求其平方根的数，有时是负数。

　　在那以前，如果一个代数问题导致求某个负数的平方根，则这个问题总是无解的。但是方程式 = 15x + 4 确实是有解的—— x =4 就是一个解——而在对它应用三次方程式的公式时就需要算出。

　　另一位意大利数学家和工程师庞贝里决定来啃这块硬骨头，看一看究竟发生了什么事。在他的1572年出版的《代数学》一书里，他硬着头皮往前闯，计算了这个“新的根式”，而且发现这样就可以找到三次方程式的解。这表明，三次方程式的公式这时仍然能用，更重要的是表明了这些奇怪的新数也可以是有用的。

　　要使人们对这些新的量感到舒服需要一段时间。大约五十年后，我们发现，Albert Girard（1595–1632，生于法国死于荷兰的数学家）和笛卡儿都说，方程式可以有三类根：真的（意为正根）、假的（意为负根）和虚的。还不完全清楚，他们所理解的虚根是否就是现在的复数根；至少，笛卡儿有时说，一个n次方程式一定有n个根，那些既不“真”又不“假”的根一定是虚根。

　　然而，复数也慢慢地被人使用了，它出现在方程式的理论中，出现在关于负数的对数的辩论中，而且与三角函数有关。通过指数函数而与正弦和余弦函数的联系，复数在18世纪成了欧拉的有力工具。到18世纪中叶，人们都知道了，每一个多项式都有一组完全的复数根。这个结果以代数的基本定理知于世。最后，高斯给出了大家满意的证明。这样，方程式的理论并不要求数的概念再有任何推广。

　　数系，老的和新的

　　因为复数与实数明显不同，它们的出现就刺激人们开始把数分成不同的类别。斯特凡的平等主义确实有影响，但是不能消除完整的数要比十进制小数好，分数要比无理数好这样的事实。

　　到了19世纪，种种新思想要求对于数的分类作更仔细的考察。在数论方面，高斯和库默尔开始考虑那些在某方面类似于整数的复数所成的集合，例如所有形如 a + b 而a和b均为整数的复数的集合。在方程式理论方面，伽罗瓦指出，为了对方程式的可解性作细心的分析，就必须对于哪些数可以算作是“有理的”取得共识。这样，例如他就指出，在阿贝尔关于五次方程式不可解的定理中，“有理”就是指“可以表示为多项式之商，而且这些多项式是指以原方程系数为符号的多项式”，他还指出，这些表达式的集合服从通常的算术的规则。

　　在18世纪，atv直播，兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728–1777，瑞士数学家）证明了e和π都是无理数，他还猜测，它们事实上是超越数，就是说它们不会是任何整数系数多项式方程的根。当时，甚至超越数是否存在也属未知；1844年，刘维尔证明了这种超越数确实存在。不过几十年间，e和π都是超越数也得到了证明，而在19世纪末，康托证明了事实上绝大多数实数都是超越数。康托的发现第一次突出地强调了下面的事实：由斯特凡所普及了的数的系统真是深不可测。