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　　在上周的《数的起源——从计数到十进制》中，为大家介绍了数的演化，接下来，实数和虚数开始粉墨登场了……

　　人们需要的是数

　　当希腊文化被其他影响代替时，实用的传统就更加重要了。这一点可以从阿尔·花拉子米的另一本著名的书（“代数”一词就是从这本书的书名得来的）看出来。这本书实际上是许多不同类型的实用或半实用问题的概要。阿尔·花拉子米在书中开宗明义地宣布，我们不再是生活在希腊数学的世界里，“当我考虑人们在计算中需要的是什么时，我发现人们需要的是数”。

　　阿尔·花拉子米的书的第一部分是讨论二次方程，以及处理二次方程所需的代数计算（当然都是用文字来表述的，什么符号也没有用）。他的方法实际上就是现在还在使用的二次方程公式，当然其中就需要求平方根。但是，在每一个例子里，需要求平方根的数都是完全平方数，所以平方根很容易求——阿尔·花拉子米得到的确实是一个数！

　　然而，在这本书的其他地方，就可以看到阿尔·花拉子米已经开始把无理的平方根看成类似于数的实体。他教导读者怎样对含有平方根的符号进行操作，而且给出例如下面那样的例子：（20 - ）+ (- 10） = 10（当然都是用文字来进行）。在书的处理几何和量度的第二部分，甚至可以看到对于平方根的近似：“乘积为一千八百七十五；取它的根，这是一个面积；它是四十三多一点。”

　　中世纪的伊斯兰数学家不仅受到以阿尔·花拉子米为代表的实用的传统的影响，也受到希腊传统的影响，特别是欧几里得的《几何原本》的影响。在他们的著作里，人们可以找到希腊的精确性和比较实用的量度方法的混合物。例如在奥马尔·哈亚姆（Omar Khayyam）的《代数》一书里，就既有希腊风格的定理，又有求数值解的愿望。对三次方程的讨论中，哈亚姆既努力用几何作图的方法来求解，又哀叹自己不能找到数值。

　　然而，“数”的领域已经在慢慢地扩大。希腊人可能还是坚持不是一个数，而只是一条线段的名称，即面积为10的正方形的一边，或者是一个比。在中世纪的数学家中，不论伊斯兰还是欧洲的数学家，的性态都越来越像一个数，它进入了运算，甚至出现在某些问题的解答里。

　　对所有的数都给以同等地位

　　把十进制系统推广到分数，这个思想是几位数学家互相独立地发现的，其中最有影响的要推斯特凡（Simon Stevin，1548-1620）。他是弗兰德斯的数学家和工程师。他在1585年出版的一本名为De Thiende（原书为弗莱芒语，后来译为英语，书名《十进算术》）的小书中，普及了这个推广了的十进制系统。他把十进制推广到十分位、百分位等等，就创立了现在仍在使用的十进制小数。更重要的是，他解释了这个系统如何用于简化涉及分数的计算，给出了许多实际应用。事实上，书的封面上就宣布此书是为了“占星学家、测绘人员和地毯的量度者之用”。

　　斯特凡肯定知道他的举动所引起的某些问题。例如他知道1/3的十进小数展开是无限的。他的讨论只是说，尽管完全的无限的展开是正确的，但是在实际应用时加以截断不会造成多大的影响。

　　斯特凡也知道他的系统给出了一个方法，对每一个长度都提供一个“数”（指十进小数展开式），他看不出1.176 470588 2与（前者是后者的小数展开式的前一部分）有什么区别，也看不出与1.414 213 562 3（后者是前者的小数展开式的前一部分）有什么区别。在《算术》一书（就是《十进算术》）中，他大胆地宣布，所有的（正）数都是平方数、立方数、四次方幂的数等等，所以都能开方，而且开方以后所有的根也都是数。他还说：“没有什么荒唐的数、没有道理的数、不正规的数、无法研究的数，或者无法听闻的数。这些称谓都是无理数的各种名称，而无理数就是非分数的数。