Kolmogorov 还将动态系统分为决定论的（古典的）动态系统和概率论的动态系统（马尔可夫过程），描述前者轨道的是常微分方程，j2直播，而决定后者转移概率的是拋物型偏微分方程，即 Kolmogorov 引入的向前方程序和向后方程式（〈关于概率论中的分析方法〉， Math. Ann. 1931）。在那以前，概率论（泛函分析）也开始得到应用，概率论的内容变得极其丰富起来。 50年代的马尔可夫过程的显著发展的源泉就是Kolmogorov 的这个研究。我从 Kolmogorov 的这篇论文的序言中的思想得到启发，引入了表现马尔可夫过程的轨道的随机微分方程式。这也决定了我以后的研究的方向。Kolmogorov的“基本概念”和“分析方法”。对我来说可谓至宝。

　　数理统计

　　在日本很遗憾概率论与数理统计之间的交流不太活跃，而 Kolmogorov 等苏联的概率论专家是非常重视二者的关系的。概率论是以概率空间为基础的，在应用于现实问题的时候，需要考虑若干概率空间，然后决定哪个是最适合于实际问题的概率模式。这个决定可以说是数理统计学的一个目的。Kolmogorov 也写了不少数理统计学的论文。在非参数检验法中用到的 Kolmogorov-Smirnov 定理是很有名的。

　　数学基础论

　　Kolmogorov 从年轻时起，就对数学基础论，特别是 Brouwer 的直观主义（有限立场）有着浓厚的兴趣（例如《Math. Zeit.》, 35 (1932), 58-65），关于算法也作了研究。

　　拓扑空间论函数空间论

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　　Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同开创了上同调理论，这是众所周知的。Kolmogorov 还是同时具有拓扑结构和代数结构的空间理论（线性拓扑空间、拓扑环）研究的开创者之一。

　　他还研究了全有界的距离空间 E 的ε-网中最小可能的点数 当时的性状，作为 E 的特性量引入了ε-熵、ε-容量的概念。将其应用于E为连续函数空间的子空间的场合〔与 V. M. Tikhomirov 合着， Uspehi (1959)〕。这是泛函分析方面的崭新的观点。

　　动态系统

　　Kolmogorov 对于古典动态系统有着很深的知识，他写过几篇重要的论文（《Proc. ICM》, 1954, Amsterdam, 1, 315-333）。他还研究了一般的动态系统（单参数保测变换群?流），引入了「Kolmogorov 流」的概念。作为流的特性量，大家知道有谱型 (Hellinger-Hahn)。 Kolmogorov 又引入了熵这个新的特性量（《Dokl.》, 124 (1959), 754-755）。毫无疑问，这也为新的遍历理论开辟了道路。

　　在其它方面，Kolmogorov 也作了许多有名的研究工作。例如 Hilbert 的第13问题的否定性解决（参看岩波《数学辞典》的 Hilbert 一项），随机数表的考察（Sankhya, A25, 1963），关于信息论的研究等。

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　　Kolmogorov 的数学教育观

　　Kolmogorov 在莫斯科大学培养了许多数学家，其中不少人已成为国际上的著名学者，这一点广为人知。他还热心于高中的数学教育，自己亲自写讲义，对数学教育所应有的姿态作了深刻的思考。Kolmogorov 60岁寿辰时（1963），P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了题为“教育家 Kolmogoro”的讲演。下面参考此文讲述一下 Kolmogorov 的数学教育论。苏联的教育制度与日本稍有不同，为小学（7～10岁）、初中（11～14岁）、高中（15～17岁）、大学（18岁～20岁），在大学里数学专业与物理专业在一个系（称作数学物理系）里。高中相当于日本的高中2年级到大学1年级，大学相当于日本的大学2年级至硕士研究生。有些类似于日本的旧制高中和大学，大学毕业时要写论文获取学位，相当于日本的硕士学位。博士学位授给大学毕业后写过许多创作论文的特别优秀的学者。

　　柯尔莫哥洛夫学习和工作的莫斯科大学

　　Kolmogorov 认为，有些家长和教师企图从10岁～12岁左右的学生中挖掘有数学才能的孩子，这样做会害了孩子，但是孩子到了14～16岁时，情况就不一样了。他们对数学物理的兴趣已很清楚地表现了出来，根据 Kolmogorov 在高中教授数学物理的经验，大约有一半的学生认为数学物理对自己仅有很小的作用。对于这些学生应该安排简单内容的课程。这样，另一半的学生（并不一定他们都要搞数学物理专业）的数学教育就可以更有效地进行。