(2)但是，数学的抽象性并不意味着完全脱离于现实素材。需要用数学加以研究的数量关系与空间形式的种类，应科学技术的要求，是不断增加着的。因此上面定义的数学内容在不断地得到丰富。

　　数学与诸科学：数学的应用是多种多样的，从原理上讲，数学方法的应用范围是无边际的，即物质的所有类型的运动都可以用数学加以研究。但是数学方法的作用与意义在不同情况下是不同的。用单一的模式来包罗现象的所有侧面是不可能的。认识具体的东西（现象）的过程中总是具有下面两个互相缠绕的倾向。

　　(1) 仅将研究对象（现象）的形式分离出来，对这个形式作逻辑上的解析。

　　(2) 弄清与已经确立的形式所不相符的“现象的方面”，向具有更多的可塑性，更能完整地包含“现象”的新的形式转化。

　　如果在研究的过程中必须时刻考察现象的本质上新的侧面，因而研究中的困难主要体现在上面的(2)的部分。这样的现象的研究（如生物学、经济学、人文科学等）中，数学方法就不是主要的。在这种时候，对现象的所有方面的辨证分析会由于数学形式反而变得含糊。

　　与此相反，如果用比较简单的、稳定的某种形式便可以把握研究对象（现象），并且在这个形式的范围内产生了在数学上需要加以特殊研究（特别是需要创造新的记号和计算法）的困难而复杂的问题时，这种现象的研究（如物理学）则在数学方法的支配圈内。

　　做了这些一般性的论述后，首先详细说明了行星运动完全是在数学方法的支配圈内，在这里数学形式是对于有限质点系的牛顿的常微分方程。

　　从力学转向物理学，数学方法的作用几乎不减，但应用中的困难明显增加。在物理学中，几乎没有不必使用高级数学技术（如偏微分方程理论、泛函分析）的领域。但是研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。

　　数学方法具有包含从考察的某个水平开始，向更高的、本质上新的水平转移这样一个过程的能力。这种例子在物理理论中是可以见到许多的：扩散现象便是一个古典的好例子。从扩散的宏观理论（拋物型偏微分方程）向更高的微观水平的理论（用独立的随机过程来描述溶液中粒子随机运动的统计力学）转移，从后者出发运用大数定律，可导出把握前者的微分方程， Kolmogorov对此种情形作了更加详细具体的说明。

　　同物理学相比，在生物学中数学更处于从属地位。在经济学和人文科学中的，这种情况就更加突出了，在生物学和杜会科学中数学方法的应用主要是以控制论的形式进行的。在这些学科中，数学的重要性以辅助科学──数理统计学的形式保留几分，但在社会现象的精确分析中，各个历史阶段中的本质性差异的侧面是占主导地位的，因而数学方法常常要靠边站。

　　数学与技术、算术、初等几何的原理，正像古代数学史所表明的那样，是从日常生活的需要中产生的。其后的新的数学方法或思想也是受到天文学、力学、物理学等满足实际需要的学科的影响而产生的，但是数学与技术（工程学）的直接联系至今常常是通过已有的数学理论在技术中的应用这样一个形式来实现的。当然还须指出，根据技术上的要求而直接产生新数学的一般理论这种例子也是有的〔例如，最小二乘法（测地），操作数法（电气工程）。作为概率论的新分支的信息论（通信工程），数理逻辑学的新分支，微分方程的近似解法，数值解法等〕。