我们采用多项式螺旋线来连接轨迹点Trajectory Point，从而生成候选的曲线。多项式螺旋线，如图8所示，代表了一类曲率可以用弧长（对应我们轨迹中的s方向）的多项式函数来表示的曲线簇。我们使用三阶（Cubic）或者五阶（Quintic）的多项式螺旋线，其曲率K和轨迹弧长S的关系K(S)为：

　　或者

　　图8 多项式螺旋线以及车辆姿态的螺旋线示意图

　　基于这种使用三阶（五阶）螺旋线连接的轨迹（Trajectory），其参数可以快速有效的通过梯度下降（Gradient Descent）的方法来搜索。以三阶多项式为例，我们考虑从车辆初始姿态qinit=(xI,yI,θI,KI)到目标姿态qgoal=(xG,yG,θG,KG)，且具有连续曲率的三阶螺旋线：

　　在初始状态 时，考虑曲率的一阶导数和二阶导数均需要满足初始状态的限制，我们可以得到：

　　这样使得实际未知参数减少到2个（K3,SG）,利用梯度向量我们可以快速寻找到非常接近初始状态限制的三阶螺旋线的参数。在上述的所有候选曲线中，我们可以根据业务的不同需要来设置Cost函数，然后选择出在任何时间点Cost最小且满足边界条件限制的曲线。由于候选曲线随着我们采样间隔随指数增长，往往将Trajectory Point建立成某种有向带权图，然后利用图论中的搜索方法结合Cost设置来选取最优曲线。具体的搜索方法可以参考中的动态编程方法。

　　在轨迹规划选定了一条或者若干条曲线后，直播，速度规划部分将决定车辆以什么样的速度来通过这条曲线。轨迹规划在选取曲线时的Cost设置偏重于静态障碍物，而速度规划在选取曲线时的Cost设置应该注意以下几点：

动态的障碍物信息：如Prediction模块预测的轨迹信息；

上游Decision输出的宏观层面指令：如对某个障碍物需要避让（Yield）；

状态量的连续性限制：如速度，加速度等均不能跳变。

　　在此基础之上，速度规划可以将曲线的纵向位移S和时间变量T建立一个二维平面，将上述的限制投影在该平面上求解这个问题。这种考虑曲线纵向位移s和时间t的速度规划求解方式称之为S-T求解。类似得，如果考虑横向位移，也可以在三维的S-L-T空间内进行求解。

　　反馈控制（Feedback Control）

　　无人车反馈控制模块中常用的车辆控制模型为自行车模型。在该模型中，车辆姿态（Pose）是处于一个二维的平面坐标系内，并且可以由车辆所处的位置（position）以及车身和坐标平面的夹角（heading）来完全描述。同时我们假设车辆前后轮由一个刚性（rigid）不变的轴连接，其中车辆的前轮可以在一定的角度范围内自由转动，而车辆的后轮保持和车身的平行关系不能转动。前轮的转动对应实际车辆控制中方向盘的转动。

　　车辆的自行车模型所代表的车辆姿态如图9所示。这里我们使用一个基于x-y的二维平面，其中和分别代表其x和y方向的单元向量。向量pr和向量pf分别代表车辆后轮和前轮与地面的接触点。车辆的朝向角θ代表车辆和x轴的夹角（即向量pr和单元向量的夹角）。方向盘转角δ定义为前轮朝向和车辆朝向角的夹角。其中前后轮与地面接触点的向量pf和pr之间满足：

　　其中和分别代表车辆前后轮在和地面接触点处的瞬时速度向量。考虑车辆的后轮速度在x-y轴的投影标量和以及后轮的切向速度

　　,那么上述的向量pf和pr之间的关系限制在后轮相关分量上的表现形式为：

　　其中 l代表车辆前后轴中心间距。类似地，用车辆前轮相关分量的表现形式为：

　　这里前后轮的切向速度标量大小满足：

　　图9 车辆控制的自行车模型