你也许会说从没见过这些东西，但我敢肯定你在生活中是见过的：如果红色是一首音乐的话，atv，那么蓝色值就是你在你的 MP3 播放器屏幕上看到的频谱：

傅里叶域上的图像

我们如何想象图片的频率呢？想象一张只有两种模式的纸片，现在把纸片竖起来顺着线条的方向看过去，就会看到一个一个的亮点。这些以一定间隔分割黑白部分的波就代表着频率。在频域中，低频率更接近中央而高频率更接近边缘。频域中高强度（亮度、白色）的位置代表着原始图像亮度改变的方向。这一点在接下来这张图与其对数傅里叶变换（对傅里叶变换的实部取对数，这样可以减小像素亮度的差别，便于观察更广的亮度区域）中特别明显：

我们马上就可以发现傅里叶变换包含了关于物体朝向的信息。如果物体被旋转了一个角度，从图像像素上可能很难判断，但从频域上可以很明显地看出来。

这是个很重要的启发，基于傅里叶定理，我们知道卷积神经网络在频域上检测图像并且捕捉到了物体的方向信息。于是卷积神经网络就比传统算法更擅长处理旋转后的图像（虽然还是比不上人类）。

频率过滤与卷积

为什么卷积经常被描述为过滤，为什么卷积核经常被称为过滤器呢？通过下一个例子可以解释：

如果我们对图像执行傅里叶变换，并且乘以一个圆形（背景填充黑色，也就是 0），我们可以过滤掉所有的高频值（它们会成为 0，因为填充是 0）。注意过滤后的图像依然有条纹模式，但图像质量下降了很多——这就是 jpeg 压缩算法的工作原理（虽然有些不同但用了类似的变换），我们变换图形，然后只保留部分频率，最后将其逆变换为二维图片；压缩率就是黑色背景与圆圈的比率。

我们现在将圆圈想象为一个卷积核，然后就有了完整的卷积过程——就像在卷积神经网络中看到的那样。要稳定快速地执行傅里叶变换还需要许多技巧，但这就是基本理念了。

现在我们已经理解了卷积定理和傅里叶变换，我们可以将这些理念应用到其他科学领域，以加强我们对深度学习中的卷积的理解。

流体力学的启发

流体力学为空气和水创建了大量的微分方程模型，傅里叶变换不但简化了卷积，也简化了微分，或者说任何利用了微分方程的领域。有时候得到解析解的唯一方法就是对微分方程左右同时执行傅里叶变换。在这个过程中，我们常常将解写成两个函数卷积的形式，以得到更简单的表达。这是在一个维度上的应用，还有在两个维度上的应用，比如天文学。

扩散

你可以混合两种液体（牛奶和咖啡），只要施加一个外力（汤勺搅拌）——这被称为对流，而且是个很快的过程。你也可以耐心等待两种液体自然混合——这被称为扩散，通常是很慢的过程。

想象一下，一个鱼缸被一块板子隔开，两边各有不同浓度的盐水。抽掉板子后，两边的盐水会逐步混合为同一个浓度。浓度差越大，这个过程越剧烈。

现在想象一下，一个鱼缸被 256×256 个板子分割为 256×256 个部分（这个数字似乎不对），每个部分都有不同浓度的盐水。如果你去掉所有的挡板，浓度类似的小块间将不会有多少扩散，但浓度差异大的区块间有巨大的扩散。这些小块就是像素点，而浓度就是像素的亮度。浓度的扩散就是像素亮度的扩散。

这说明，扩散现象与卷积有相似点——初始状态下不同浓度的液体，或不同强度的像素。为了完成下一步的解释，我们还需要理解传播子。

理解传播子