故事到这里仍未结束，而是继续沿几个方向发展着。一方面转化原理现在已经有了一些进一步的应用，比如获得高斯素数中的组团（constellation）或有理素数中的多项序列。另一个很有前途的研究方向是 Fourier 分析、超图理论及各态历经方法的彼此汇聚，比如发展图论与超图理论的无穷版本（它在其它数学领域，如性质检验，中也有应用），或各态历经理论的有限版本。第三个方向是使控制各态历经情形下的回归的零系统也能控制算术序列的各种有限平均。特别是，Green 和我正在积极地计算素数及由零系统（通过 Vinogradov 方法）产生的序列之间的关联，以便确立能够在素数中找到的各种结构的精确渐进形式。最后，但并非最不重要的是最初的 Erdös-Turán 猜想，它在所有这些进展之后仍未得到解决，不过现在 Bourgain 已经取得了一些非常有希望的进展，这应该能引导出进一步的发展。（译者注：1. 高斯素数（Gaussian prime）是素数概念在高斯整数集（即形如 m+ni 的复数组成的集合，其中 m、n 均为整数）中的推广。2. 有理素数（rational prime）是普通素数在高斯整数集中的称谓。）

　　3.

　　结论

　　如我们在上述个例研究中可以看到的，好数学的最佳例子不仅满足本文开头所列举的数学品质判据中的一项或多项，更重要的，它是一个更宏大的数学故事的一部分，那个故事的展开将产生许多不同类型的进一步的好数学。实际上，人们可以将整个数学领域的历史看成是主要由少数几个这类好故事随时间的演化及相互影响所产生的。因此我的结论是，好数学不仅仅是用前面列举的一个或几个“局部”品质来衡量的（尽管那些品质无疑是重要且值得追求与争论的），还要依赖于它如何通过继承以前的成果或鼓励后续发展来与其它好数学相匹配这样更“全局”的问题。当然，如果不凭借后见之利，要确切地预言什么样的数学会具有这种品质是困难的。不过实际上似乎存在某种无法定义的感觉，使我们能感觉到某项数学成果“触及了什么东西”，是一个有待进一步探索的更大谜团的一部分。在我看来，追求这种对发展潜力的难以言状的保障，对数学进展来说起码是与前面列举的更具体更显然的数学品质同等重要的。因此我相信，好数学并不是单纯的解题、构筑理论、对论证进行简化、强化、明晰化、使论证更优美、更严格，尽管这些无疑都是很好的目标。在完成所有这些任务（及争论一个给定领域中哪一个应该有较高的优先权）的同时，我们应该关注我们的结果所可能从属的任何更大的范围，因为那很可能会对我们的结果、相应的领域，乃至整个数学产生最大的长期利益。

　　4.

　　鸣谢

　　感谢 Laura Kim 阅读并评论本文的早期文稿，以及 Gil Kalai 的许多深思熟虑的评论与建议。

　　注释

　　[1] 上述列举无意以完备自居。尤其是，它主要着眼于研究性数学文献中的数学，而非课堂、教材或自然科学等接近数学的学科中的数学。

　　[2] 特别值得指出的是数学严格性虽然非常重要，却只是界定高品质数学的因素之一。

　　[3] 一个相关的困难是，除了数学严格性这一引人注目的例外，上述品质大都有点主观，因而含有某种不精确性与不确定性。我们感谢 Gil Kalai 强调了这一点。

　　[4]稀缺资源的例子包括钱、时间、注意力、才能及顶尖刊物的版面。

　　[5]这一问题的另一个解决方法是利用数学资源也是多维这一事实。比如人们可以为展示、创造性等等设立奖项，或为不同类型的成果设立不同的杂志。我感谢 Gil Kalai 对这一点的洞察。

　　[6] 这一现象与 Wigner 所发现的“数学的不合理有效性”（unreasonable effectiveness of mathematics）有一定的关联。（译者注：Wigner 的这一说法见于他1960年发表的文章"The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"。）

　　[7] Erdös 也研究了 Ramsey 原始定理中的定量下界，由此导致的结果中包括了对在组合学中极其重要的概率方法的确立，不过这本身就是一个很长的故事，我们没有足够的篇幅在这里讨论。