图3、图4解释了这一观点。图3中，给定了两张人脸曲面，上面标注了特征点。两张曲面之间不存在保持特征点间对应关系的保角变换，但是存在唯一的一个微分同胚，将角度畸变降到最小，如图4所示，即所谓的泰西米勒映射（Teichmuller Map）。这一映射将源曲面上的无穷小圆映到目标曲面上的无穷小椭圆，所有的椭圆具有相同的偏心率。整张曲面上，最大的偏心率可以作为角度畸变的一种量度。在所有可能的微分同胚中，泰西米勒映射使得这种角度畸变达到最小。由此，泰西米勒映射给出了模空间中的测地距离和测地线。

　　图5. Beltrami微分的几何解释：无穷小椭圆的偏心率和主轴方向

　　一般的微分同胚，将无穷小圆映到无穷小椭圆，局部上每一点处的椭圆偏心率和主轴方向定义了一个复数值的函数，即所谓的Beltrami系数；在流形上，在各个局部坐标系下定义的Beltrami系数给出了整体的Beltrami微分，记为。粗略而言，微分同胚和Beltrami微分彼此一一对应，我们考察微分同胚等价于考察Beltrami微分。在模空间的任意一点（代表一族共形等价的曲面），每一个Beltrami微分都给出了曲面的形变，因此，曲面上所有可能的Beltrami微分定义了模空间在该点处的切空间。

　　曲面的一个叶状结构（foliation）就是将曲面分解成一族曲线，每一条曲线被称为是一片叶子（leaf）。叶子没有自相交，彼此也不相交。曲面上的任意一个叶状结构都可以用一个所谓的全纯二次微分（holomorpic quadratic differential）来描述。曲面上的所有全纯二次微分构成一个线性空间，如图6所示。

　　图6. 曲面上的叶状结构。前两个叶状结构之和等于底3个叶状结构。

　　给定模空间中的一个点和一个Belrami微分，那么对于一切，决定了一个微分同胚，将点映射到模空间中的另外一点。由此，我们得到了模空间中的一条曲线，。这条曲线在0点处的切向量，亦即曲面的形变“趋势”，由Belrami微分对曲面上全纯二次微分的作用所决定。这种说法比较抽象，我们下面给出一个实例来详细解释这种说法的直白意义。

　　假定我们给定一张人脸曲面，脸上我们用机器学习方法求得了特征点，如图3所示。我们在每个特征点处戳一个小洞，得到了带有空洞的曲面。带空洞的曲面上有全纯二次微分，，它们构成了所有全纯二次微分空间的一个基底。更进一步，对每一个特征点我们可以选取一个相应的全纯二次微分。给定一个Beltrami微分，对应的微分同胚是, 那么经过重整化后（normalization），特征点位置的变化率为：

　　。

　　对此，老顾师兄刘克峰给出了精辟的概括：全纯二次微分空间是模空间的余切空间。一针见血，一语中的。

　　通过以上讨论可见，模空间理论给出了三维人脸曲面配准问题的理论模型，或者更为宽泛的求解一般大形变曲面间的微分同胚问题的理论模型。其形状空间，这一空间的黎曼度量，映射空间的切空间、余切空间、测地距离、测地线，等黎曼几何概念明晰，最优映射的存在性和唯一性具有理论保证。迄今为止，我们只应用到了模空间的黎曼几何性质。其实，芒福德的最令人惊异的贡献在于：他看出了模空间实际上是一个代数流形，模空间可以表示成多项式方程组的零点集合。模空间的代数性质会为曲面配准问题带来哪些更为深刻的指导作用，这是一个饶有兴味的未知问题。