如图9所示，假设是一个凸函数，亦即其图为一凸曲线。则的图，是其所有切线的包络（envelope）。斜率为的切线记为，方程表示为

，

　　这里截距定义为：

　　就是的勒让德变换，它们互为勒让德共轭，换言之，。几何上，的勒让德变换给出了的所有切线，这些切线的包络给出了。每一个对应着唯一的，这里。

　　图10. c-变换。

　　我们可以将勒让德变换进行推广，如图10所示，假设是单参数曲线族，以变元为参数，曲线族的包络为。这里，曲线由传输代价函数所决定，其方程表示为：

　　这里，我们称为的c-变换（c-transform），

。

　　如果，则我们说为c-凸函数（c-convex）。

　　对偶问题（DP）可以进一步表示成如下形式：

。

　　扭曲条件

　　根据以上的讨论，我们看到对于最优传输方案，其质量主要集中于集合

,

　　换言之。如果是n维流形，对于任意，由唯一决定，则最优传输方案成为最优传输映射。

　　根据包络的几何特征，假设在处，和相切，我们得到必要条件：

,

　　图11. 扭曲条件。

　　我们得到映射 ，如果这一映射对任意都是单射，则我们说代价函数满足扭曲条件（twist condition）。可以看出，如果代价函数满足扭曲条件，则对于任意的，满足相切条件的唯一，因此映射就是最优传输映射。

　　图11展示了一个不满足扭曲条件的例子，在处，存在同时满足相切条件。

　　假如，代价函数，这里是一个严格的凸函数，那么它满足扭曲条件，，则传输映射有表达式：

　　这里，我们再一次用到了勒让德变换。

　　作为这套理论的应用，我们给出两个在日常生活中最为常见的例子。

　　蒙日-安培方程

　　考察代价函数为距离，

　　则h为严格凸的函数，最优传输映射存在。如果我们考虑距离情形，，则其勒让德变换为恒同变换，最优传输映射公式为：

　　我们令，则得到所谓的Brenier定理：距离的最优传输映射由一个函数的梯度给出。

　　我们再考虑保持测度的性质：，我们就会得到著名的蒙日-安培方程。梯度映射的雅克比行列式为海森矩阵，

　　因此，最优传输映射和蒙日-安培方程具有非常亲密的血缘关系，而后者也和传统的闵科夫斯基问题（Minkowski Problem）有很深的渊源[5]。

　　加权Voronoi图

　　从计算角度讲，最优传输映射和计算几何中的加权Voronoi图（Power Voronoi Diagram）是彼此等价的。我们在这里进行一番推导。

　　我们设是欧式空间中的紧凸集，为离散点集，

，

　　配备狄拉克测度：

　　。

　　考察对偶问题，则为离散函数，定义在离散点集上，设，则

　　，

　　我们在考察的c-变换，得到

,

　　固定,函数关于为凹函数。由此，我们得到Power Voronoi图，

　　我们得到

　　这里是相应的Voronoi胞腔的-体积。

　　由此，我们得到对偶问题为：最大化如下能量

　　这一能量为凹函数，其梯度为