为了彻底理解量子世界，人类可能需要发探索新的数学领域

　　数学，从本质上，是我们观察到的自然世界规律的严密表达。古埃及和巴比伦的原始天文学和建筑学是几何学的摇篮，而17世纪对机械运动的研究引出了微积分学。

　　尽管我们不可能看到微观粒子，但是量子力学也成为推动数学发展的强大力量。量子世界的各种奇怪现象，不仅向我们揭示了之前从未意识到的世界的深层本质，还为现代数学提供了丰富的养分。那么，量子理论的研究，能引发“量子数学”这个全新的领域吗？

　　的确，数学和物理的联姻从几百年前就开始了。伽利略曾写道：“自然是一本无穷无尽的大书，开奖，规律被写在这本书中。但是人类若想阅读该书，必须先理解写成该书的语言——数学语言。”物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）在数学上也颇有建树，他说：“如果不懂数学，那么一个人很难穿越事物的表面，接触到自然最美的一面...如果你希望理解大自然，那么你必须学会数学的语言。”另一方面，费曼也说：“如果数学知识在一瞬间消失，物理学只会倒退7天。（费曼认为：没有数学知识，物理知识本身不会消失）”对于费曼的话，一个数学家回复到：“不过这7天是上帝创造世界的7天。（数学家认为：没有数学，人类不可能理性认识真实世界）”

　　数学物理学家，诺奖得主尤金·维格纳写道：“数学对于自然科学是无比有效的工具。”然而今天，情况似乎倒过来了：量子理论对于现代数学是无比有效的工具——从粒子物理中产生的问题推动着多个数学领域的发展，特别是弦论。量子理论对数学——分析学、几何学、代数学、拓扑学、群伦、组合数学、概率论和其他分支——的刺激都会留下深远的影响，无论最终量子力学本身会走向何方。学习量子力学的学生真是有点可怜！

　　为什么量子理论对数学有如此大的推动作用？也许原因在于：量子世界中，任何“可能”发生的事情，atv，最后都会发生。

　　举个例子。在牛顿力学下，粒子从空间一点到另一点，肯定走的是最短的路径。在量子力学下，粒子可能走的路径有无数条——哪怕绕N个弯也是有可能的。费曼把这叫做“可能路径集合”。然后，根据物理定律，每条路径被赋予特定权重，决定粒子走这条路径的概率——只不过，牛顿力学下的最短路径是可能性最大的路径。因此，量子物理研究的是“加权路径集合”。

科学家安德里亚·凯恩在普林斯顿高等研究院

　　这种同时考虑所有路径的思路是现代数学的核心：研究一个集合中元素之间的相互作用，而不仅仅是单个元素。这仅仅是量子理论对数学的贡献之一。

　　量子计算器

　　在几何学中引发革命的镜像对称是另外一个例子。举个例子。科学家希望计算某个卡拉比-丘空间（爱因斯坦引力方程中的6维解，弦理论的热门研究方向）中的曲线数目。

　　你可以把一根橡皮筋绕一个圆柱体N次，同样地，卡拉比-丘空间中的曲线用“度”这个整数描述该曲线发生卷曲的次数。即使对于最简单的卡拉比-丘空间，求解一个给定空间中的曲线数目也是非常困难的。19世纪获得的1度曲线数目为2875。直到1980年才计算出，2度曲线的数目是609250。然而，3度曲线数目的计算方法仍待寻找。

　　1990年，一批弦论科学家向几何学家请教计算方法。几何学家发明了一种复杂的计算机算法，并给出了答案。然而，弦论科学家怀疑答案有误——软件有bug。几何学家检查后确认了这一点。但是弦论科学家是如何发现的？

　　因为，弦论科学家构建了这个几何问题的物理模型，然后他们发明了一种计算任意度曲线数目的方法。这个消息对数学圈是极大的震撼——这相当于发明了登上任何一座山峰的通用方法！

　　量子理论下，任意度的曲线数目被整合到1个优雅的方程中，这个方程有明确的物理解释。该方程的解，是一根卡拉比-丘空间中的弦的概率大小。一根弦可以看做是所有可能度的所有曲线在同一时间的合集，因此是一种极其有效的“量子计算器”。